Десятковий логарифм — логарифм з основою 10. Десятковий логарифм числа є розв'язком рівняння
Десятковий логарифм числа існує, якщо Позначається (специфікація ISO 31-11).
Приклади:
У зарубіжній літературі, а також на клавіатурі калькуляторів зустрічаються й інші позначення десяткового логарифма:, причому слід мати на увазі, що перші 2 варіанти можуть відноситися і до натурального логарифма.
Алгебраїчні властивості
У нижченаведеній таблиці передбачається, що всі значення позитивні : Формула Приклад Добуток Частка від ділення Степінь Корінь Існує очевидне узагальнення наведених формул на випадок, коли допускаються негативні змінні, наприклад:
Формула для логарифма добутку легко узагальнюється на довільну кількість співмножників:
Вищеописані властивості пояснюють, чому застосування логарифмів (до винаходу калькуляторів) істотно полегшувало обчислення. Наприклад, множення багатозначних чисел за допомогою логарифмічних таблиць вироблялося за наступним алгоритмом: Знайти в таблицях логарифми чисел . Скласти ці логарифми, отримуючи (відповідно до першої властивості) логарифм добутку . За логарифмом добутку знайти в таблицях сам добуток. Ділення, яке без допомоги логарифмів набагато трудомісткіше, ніж множення, виконувалося за тим же алгоритмом, лише із заміною складання логарифмів — відніманням. Аналогічно здійснювалися піднесення до степеня і знаходження кореня.
Зв'язок десяткового і натурального логарифмів :
Знак логарифма залежить від логарифмуємого числа: якщо воно більше 1, логарифм позитивний, якщо воно між 0 і 1, то від'ємний. Приклад:
Щоб уніфікувати дії з позитивними і негативними логарифмами, в останніх ціла частина (характеристика) надкреслюється зверху:
Мантиса логарифма, обрана з таблиць, при такому підході завжди позитивна.
Функція десяткового логарифма
Якщо розглядати логарифмуєме число як змінну, ми отримаємо функцію десяткового логарифма: . Вона визначена при всіх Область значень: . Графік цієї кривої часто називається логарифмікою.
Функція монотонно зростає, неперервна і диференційована усюди, де вона визначена. Похідна для неї знаходиться за формулою:
Вісь ординат є лівою вертикальною асимптотою, оскільки:
Застосування
Логарифми за основою 10 до винаходу в 1970-і роки компактних електронних калькуляторів широко застосовувалися для обчислень. Як і будь-які інші логарифми, вони дозволяли багаторазово спростити і полегшити трудомісткі розрахунки, замінюючи множення на додавання, а ділення на віднімання; аналогічно спрощувались піднесення до степеня і знаходження кореня. Але десяткові логарифми мали перевагу перед логарифмами за іншою основою: цілу частину логарифма числа (характеристику логарифма) легко визначити.
Якщо то на 1 менше числа цифр в цілій частині числа . Наприклад, відразу очевидно, що lg 345 знаходиться в проміжку (2, 3). Якщо то найближче до ціле (в меншу сторону) дорівнює загальній кількості нулів в перед першою ненульовий цифрою, взятому зі знаком мінус. Наприклад, lg 0,0014 знаходиться в інтервалі (-3, -2).
Крім того, при перенесенні десяткової коми в числі на розрядів значення десяткового логарифма цього числа змінюється на Наприклад:
Звідси випливає, що досить скласти таблицю мантис (дробових частин) десяткових логарифмів для чисел в діапазоні від 1 до 10. Такі таблиці, починаючи з XVII століття, випускалися великим тиражем і служили незамінним розрахунковим інструментом вчених та інженерів.
Оскільки застосування логарифмів для розрахунків з появою обчислювальної техніки майже припинилося, в наші дні десятковий логарифм в значній мірі витіснений натуральним . Він зберігається в основному в тих математичних моделях, де історично вкоренився — наприклад, при побудові логарифмічних шкал.
+Десяткові логарифми для чисел виду 5 × 10nЧислологарифмхарактеристикамантисазаписnlg(n)C = floor(lg(n))M = (lg(n) − характеристика)5 000 0006.698 970…60.698 970…6.698 970…501.698 970…10.698 970…1.698 970…50.698 970…00.698 970…0.698 970…0.5−0.301 029…−10.698 970….698 970…0.000 005−5.301 029…−60.698 970….698 970…
Зверніть увагу, що у всіх наведених у таблиці чисел одна і та ж мантиса.
Історія
Перші таблиці десяткових логарифмів опублікував в 1617 році оксфордський професор математики Генрі Бріґґз для чисел від 1 до 1000, з вісьмома (пізніше — з чотирнадцятьма) знаками. Тому за кордоном десяткові логарифми часто називають брігсовимі. Але в цих і в наступних виданнях таблиць виявилися помилки. Перше безпомилкове видання на основі таблиць Георга Веги (1783) з'явилося тільки в 1857 в Берліні (таблиці Бремікера, Carl Bremiker) .
У Росії перші таблиці логарифмів були видані в 1703 році за участю Л. П. Магницького. У СРСР випускалися кілька збірок таблиць логарифмів: Брадис В. М. Чотиризначні математичні таблиці. : Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблиці Брадіса, що видаються з 1921 року, використовувалися в навчальних закладах та в інженерних розрахунках, що не вимагають великої точності. Вони містили мантиси десяткових логарифмів чисел і тригонометричних функцій, натуральні логарифми і деякі інші корисні розрахункові інструменти. Вега Г. Таблиці семизначних логарифмів, 4-е видання, : Надра, 1971. Професійний збірник для точних обчислень.
Примітки
Джерела Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — изд. 25-е. — М.: Наука, 1978. — ISBN 5-17-009554-6.