Квадрика — n-вимірна гіперповерхня в n+1-вимірному просторі, що задана як множина нулів многочлена другого степеня. Якщо ввести координати } (в евклідовому або афінному просторі), загальне рівняння квадрики матиме вигляд
Це рівняння можна записати більш компактно в матричних термінах:
де — вектор-рядок; XT — транспонований вектор-рядок (тобто вектор-стовпець); — матриця розміру (n+1)×(n+1) (передбачається, що хоча б один її елемент ненульовий); — (n+1)-вимірний вектор-рядок; — константа.
Найбільш часто розглядають квадрики над дійсними або комплексними числами. Означення можна поширити на квадрики в проєктивному просторі.
Більш загально, множину нулів системи поліноміальних рівнянь можна розглядати як алгебричний многовид. Таким чином, квадрика є (аффінним або проєктивним) алгебричним многовидом другого степеня і ковимірності 1.
Квадрика в евклідовому просторі
Квадрики на евклідовій площині відповідають випадку n = 1, тобто є плоскими кривими. Зазвичай їх називають не квадриками, а коніками або конічними перерізами.
Квадрики в (тривимірному дійсному) евклідовому просторі мають розмірність n = 2 і називаються поверхнями другого порядку. Провівши ортогональну заміну базису, будь-яку квадрику в евклідовому просторі можна звести до нормальної форми. У тривимірному евклідовому просторі існує 17 таких форм. З них 5 є невиродженими (тобто відповідна їм білінійна форма Q є невиродженою). Вироджені форми можуть мати вигляд двох площин (паралельних, або таких, що перетинаються), двох прямих (паралельних, або таких, що перетинаються), точки, а також є випадок квадрики, яка не містить дійсних точок.Stewart Venit, Wayne Bishop, Elementary Linear Algebra (fourth edition), International Thompson Publishing, 1996.
Невироджені дійсні квадрики в евклідовому просторі Еліпсоїд Сфероїд (спеціальна форма еліпсоїда) Сфера (спеціальна форма сфероїда) Еліптичний параболоїд Круговий параболоїд (спеціальна форма еліптичного параболоїда) Гіперболічний параболоїд Однопорожнинний гіперболоїд Двопорожнинний гіперболоїд Вироджені квадрики в евклідовому просторі Еліптичний конус Круговий конус (спеціальна форма еліптичного конуса) Еліптичний циліндр Круговий циліндр (спеціальна форма еліптичного циліндра) Гіперболічний циліндр Параболічний циліндр
Афінний та проєктивний простір Класифікація квадрик у тривимірному афінному просторі збігається з класифікацією квадрик в евклідовому просторі.П. С. Александров. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. С.275. Різниця полягає в тому, що будь-які дві квадрики з одного класу можна перевести одну в одну афінним перетворенням, тоді як відповідне ортогональне перетворення існує не завжди (наприклад, еліпсоїд неможливо перевести рухом в еліпсоїд ).
Від квадрики в афінному просторі можна перейти до квадрики в проєктивному просторі, ввівши однорідні координати. Нехай у афінному просторі введені координати тоді в рівнянні квадрики достатньо помножити лінійні члени на а вільний член на Рівняння проєктивної квадрики в однорідних координатах має вигляд
Без обмеження загальности можна вважати, що матриця симетрична, тобто Проєктивна квадрика називається невиродженою, якщо відповідна їй квадратична форма невироджена.
У дійсному проєктивному просторі, відповідно до закону інерції, будь-яку невироджену квадратичну форму можна звести (проєктивним перетворенням) до вигляду
Оскільки сигнатура квадратичної форми є її інваріантом, в розмірності n = 2 існує рівно три класи еквівалентности:
Еліпсоїд, еліптичний параболоїд і двопорожнинний гіперболоїд належать другому класу, а гіперболічний параболоїд і однопорожнинний гіперболоїд — третьому (останні дві квадрики є прикладами лінійчатих поверхонь). Жодна квадрика в дійсному проєктивному просторі не належить першому класу, тому що відповідне рівняння визначає точку, а не поверхню. У комплексному проєктивному просторі всі невироджені квадрики еквівалентні.
Імовірність і статистика
Еліптичний розподіл, узагальнює багатовимірний нормальний розподіл і використовується в галузі фінансів, може бути визначеним з точки зору його функцій щільності. Коли він існує, функції щільності F мають структуру:
де це масштабний коефіцієнт, це -мірний випадковий вектор-рядок з середнім вектором , це позитивна матриця, яка пропорційна коваріаційній матриці, якщо остання існує, та є функцією, що відображає від невід'ємних до невід'ємних чисел кінцеву площу під кривою.Frahm, G., Junker, M., & Szimayer, A. (2003). Elliptical copulas: applicability and limitations. Statistics & Probability Letters, 63(3), 275—286. Багатовимірний нормальний розподіл є окремим випадком, в якому для квадратичної форми .
Таким чином, функція щільності є скалярним перетворенням квадратичного виразу. Крім того, рівняння для будь-якої поверхні з щільністю заявляє, що квадратичний вираз дорівнює деякій константі, що відносяться до цього значення щільності.
Примітки