Білінійна операція на лінійному просторі V задовольняє тотожність Якобі, якщо:
Названо на честь Карла Густава Якобі. Поняття тотожності Якобі зазвичай пов'язане з алгебрами Лі.
Приклади
Наступні операції задовольняють тотожність Якобі:
Комутатор операторів Комутатор в алгебрі Лі Дужки Лі векторних полів Дужки Пуассона функцій на симплектичному многовиді Векторний добуток векторів
Значення в алгебрах Лі
Якщо множення є антикоммутативним , то тотожності Якобі можна надати дещо інший вигляд, використовуючи приєднане представлення алгебри Лі :
Записавши тотожність Якобі у формі
отримаємо, що воно рівносильне умові виконання правила Лейбніца для оператора :
Таким чином, — диференціювання в алгебрі Лі. Будь—яке таке диференціювання називається внутрішнім. Тотожності Якобі також можна надати вигляду
Це означає, що оператор задає гомоморфізм даної алгебри Лі в алгебру Лі її диференціювань.
Градуйовані тотожності Якобі
Нехай — градуйована алгебра, — множення в ній. Кажуть, що множення в задовольняє градуйованій тотожності Якобі, якщо для будь—яких елементів
Посилання