Теорема існування, в математиці — це теорема, що починається з утвердження «існує…», або, у більш загальному вигляді, «для всіх х та у… існує…». Це означає, що в більш формальній термінології логіки першого порядку, це є теоремою з попереджанною нормальною формою за участи квантифікаціїКвантифікація (від квант) (, , ) — кількісне вираження якісних ознак. існування. Іншими словами, це твердження, що встановлює, за яких умов існує розв'язок математичної задачі або математичного об'єкта, наприклад похідної, невизначеного інтегралу, визначеного інтеграла тощо. Теорема існування дає змогу визначити, чи існує обчислюваний інтеграл і скільки розв'язків має диференціальне рівняння. Для доведення теорем існування використовують теорію множин. Але більшість подібних теорем не є такими точними, як це, зазвичай, фіксується в стандартній математичній мові. Як, наприклад, твердження про те, що синусоїдальна функціяФу́нкція (відображення, трансформація, оператор) в математиці — це правило, яке кожному елементу з першої множини (області визначення) ставить у відповідність один і тільки один елемент з другої множини. Часто цю другу множину називають цільовою множиною чи образом функції чи відображення. є неперервною; або будь-які теореми, написанні з нотацією великого «О».
Дискусія, що зародилась на початку 20 сторіччя, порушує проблему обмеженої теоретичної частини теореми існування. Теорема залежить від неконструктивних основоположних матеріалів, таких як аксіома нескінченності, аксіома вибору або закон виключеного третього. Такі теореми не дають ніяких вказівок про те, як показувати або будувати об'єкт, про існування якого запитується. З математичної точки зору, визначивши ці самі об'єкти, математика втрачає конкретне застосування. Протилежна точка зору полягає в тому, що абстрактні методи мають широкі наслідки, таким чином, роблячи чисельні методиЧи́сельні ме́тоди — методи наближеного або точного розв'язування задач чистої або прикладної математики, які ґрунтуються на побудові послідовності дій над скінченною множиною чисел. Основні вимоги до чисельних методів, щоб вони були стійкими та збіжними. недійсними.
Результати «обмеженого» існування
Теорема існування обмежено теоретична, якщо надане доведення не вказує на побудову певного об'єкта, існування якого стверджується. Таке доведення не є конструктивним і головна частина полягає в тому, що весь даний підхід може не підходити до побудови. Теореми першого типу називають конструктивними теоремами існування, теореми другого типу - теоремами чистого існування. Конструктивні теореми існування зазвичай доводяться складніше ніж теореми чистого існування, тому що на певному етапі розвитку математики їх може просто не існувати.
З точки зору алгоритмів, обмежено теоретична теорема існування обходить всі алгоритми для пошуку того, що затверджує існування. Вони порівнюються з «конструктивістською» теоремою існування. Багато математиків-конструктивістів працюють з поширеною логікою (такою, як інтуїтивна логіка).
Такі обмежені теоретичні результати існування поширені в сучасні математиці. Наприклад, оригінальне доведення Джона Неша про існування рівноваги Неша, у 1951 році, було подібним до теореми існування. 1962 року знайдено конструктивний підхід.
Конструктивістські ідеї
З іншого боку, спостерігалося значне уточнення, чим є конструктивна математика; без застосування «основної теореми про рекурентні співвідношення». Наприклад, відповідно до визначення Еррета Бішопа, неперервність такої функції, як sin x, має бути доведено у вигляді конструктивної прив'язки на модуль безперервності; це буде означати, що екзистенціальний зміст твердження неперервності — це обіцянка, що буде завжди дотримана. Можна зробити ще одне пояснення через теорію типів, в якій доказ твердження про існування може існувати тільки від терміну (що ми бачимо як обчислювальний зміст).
Див. також Конструктивне доведення
Примітки