У лінійній алгебрі нільпотентною матрицею називається квадратна матриця N така що
для деякого додатного цілого числа k. Найменше таке k іноді називають порядком або індексом матриці N.
Нільпотентним лінійним перетворенням називається лінійне перетворення L лінійного простору таке що Lk = 0 для деякого цілого числа k (і відповідно, Lj = 0 для всіх j ≥ k). Обидва ці поняття є прикладами нільпотентних елементів кільця.
Приклади Матриця
є нільпотентною, оскільки M2 = 0. Більш загально, будь-яка трикутна матриця всі діагональні елементи якої рівні 0 є нільпотентною порядку . Наприклад, матриця
є нільпотентною:
Матриця
є нільпотентною, оскільки її квадрат дорівнює нулю, хоча всі елементи матриці є ненульовими. Класифікація Матриця розмірності n × n і виду:
є нільпотентною порядку n.
Як частковий випадок жорданової нормальної форми кожна нільпотентна матриця N є подібною до блокової матриці виду:
де кожен з блоків S1, S2, ..., Sr є матрицею виду розглянутого вище.
Наприклад будь-яка ненульова нільпотентна матриця порядку 2 × 2 є подібною до матриці
Дана теорема про класифікацію справедлива для довільного поля, не обов'язково алгебраїчно замкнутого.
Послідовність підпросторів
Нільпотентне перетворення L на просторі Rn визначає послідовність підпросторів
і послідовність цілих чисел
Дана послідовність чисел визначає L з точністю до оборотних лінійних перетворень. Окрім того справедливі нерівності:
Навпаки довільна послідовність натуральних чисел, що задовольняють цим послідовностям пов'язана з деяким нільнотентним перетворенням.
Властивості Для квадратної матриці N порядку n × n з дійсними чи комплексними елементами, наступні твердження є еквівалентними: Матриця N є нільпотентною. Мінімальний многочлен матриці N рівний xk для деякого натурального числа k ≤ n. Характеристичний многочлен матриці N рівний xn. Всі власні значення матриці N дорівнюють 0. Слід матриць (Nk) = 0 для всіх k > 0. Останнє твердження справедливе для всіх полів характеристики 0 або достатньо великої характеристики. Порядок нільпотентної матриці розмірності n × n завжди менший або рівний n. Визначник і слід нільпотентної матриці дорівнюють 0. Відповідно кожна нільпотентна матриця є виродженою. Єдиною нільпотентною діагоналізовною матрицею є нульова матриця. Якщо N — нільпотентна матриця, то матриця I + N є оборотною, де I є одиничною матрицею розмірності n × n. Обернена матриця задається рядом: З нільпотентності N випливає, що лише скінченна кількість доданків у ряді є ненульовими. Якщо матриця N є нільпотентною то Навпаки якщо A є матрицею і для всіх t, то A є нільпотентною. Оскільки є многочленом степеня , достатньо виконання рівності лише для різних значень . Кожна вироджена матриця може бути записана як добуток нільпотентних матриць.R. Sullivan, Products of nilpotent matrices, Linear and Multilinear Algebra, Vol. 56, No. 3 Якщо A і B — дві комутуючі квадратні нільпотентні матриці однакової розмірності, то нільпотендним буде і їх добуток і всі лінійні комбінації. Справді, якщо p є більшим з порядків нільпотентності матриць A і B то:
і, оскільки i або 2p – i є не меншим від p то:
Див. також Нільпотентний елемент Уніпотентна матриця
Джерела
Nilpotent matrix і nilpotent transformation on PlanetMath.
Примітки