Тензором кручення в диференціальній геометрії називається векторозначний тензор, що кожній парі векторних полів класу , заданих на деякому гладкому многовиді з введеною афінною зв'язністю присвоює векторне поле класу . Разом із тензором кривини тензор кручення є одним з головних інваріантів афінної зв'язності. Зокрема тензор кручення відіграє дуже важливу роль у вивченні геометрії геодезичних ліній на многовидах.
Означення
За допомогою афінної зв'язності Нехай є диференційовним многовидом разом з визначеною на ньому афінною зв'язністю . Тензор кручення задається як векторозначне тензорне поле, що визначається рівністю:
Тут — векторні поля, а — дужки Лі.
За допомогою диференціальних форм Нехай векторні поля є локальним базисом із -векторних полів дотичного розшарування для деякої відкритої підмножини і є двоїстими -диференціальними формами. Для афінної зв'язності позначимо диференціальні форми для яких
Тоді є теж диференційовними формами класу .
Задамо також векторозначний тензор через його компоненти як де є дійснозначними тензорами аргументами яких є вектори (в якійсь точці) чи векторні поля (для усієї множини ).
Тоді із компонентами є тензором кручення тоді і тільки тоді коли виконуються рівності
де позначає зовнішню похідну диференційної форми, а — зовнішній добуток диференціальних форм.
Відповідно, якщо є довільними гладкими диференціальними формами на , то вони задають афінну зв'язність і для цієї зв'язності задані вище є компонентами тензора кручення.
Через компоненти в локальних координатах Нехай векторні поля є локальним базисом із -векторних полів дотичного розшарування для деякої відкритої підмножини .
Нехай позначає компоненти тензора кручення, так що або використовуючи позначення вище .
Позначимо також — символи Крістофеля (тобто, наприклад, і ) і коефіцієнти , що одержуються із розкладу для дужок Лі .
Компоненти тензора кручення в локальних координатах запишуться через формулу:
. Якщо локальним базисом є, наприклад координатний базис, то і для компонент тензора кручення справедлива формула:
Відповідно якщо символи Крістофеля задають афінну зв'язність, то визначені як вище є компонентами відповідного тензора кручення.
Властивості З властивостей афінних зв'язностей і дужок Лі одразу одержуються наступні властивості тензора кручень:
Тензор кручення є кососиметричним, тобто: Тензор кручення є білінійним: Для довільної гладкої на многовиді функції f:
Геодезичні лінії і різниці зв'язностей Нехай γ(t) є кривою на многовиді M із афінною зв'язністю ∇. Тоді γ називається геодезичною лінією для ∇ якщо
для всіх t із області визначення γ. Тут задає векторне поле вздовж кривої γ. Кожна геодезична лінія однозначно задається дотичним вектором у початковій точці .
Дві афінні зв'язності ∇ і ∇′ мають одні і ті ж геодезичні лінії тоді і лише тоді коли вони умовно кажучи відрізняються лише тензором кручення.
Більш формально нехай X і Y є векторними полями в околі точки і
є різницею двох зв'язностей. У точці p Δ залежить лише від значень X і Y у p, тож загалом Δ є тензором на M. Нехай S і A є симетричною і кососиметричною частиною Δ:
Тоді є різницею тензорів кручень двох зв'язностей. Зв'язності ∇ і ∇′ мають однакові геодезичні лінії якщо і тільки якщо . Еквівалентним твердженням є те, що для всіх векторів X із дотичного розшарування TM виконується рівність Δ (X, X) = 0.
Відповідно симетрична частина різниці зв'язностей визначає чи мають вони однакові геодезичні лінії. Якщо всі геодезичні лінії є однаковими то різниця між зв'язностями повністю визначається різницею між їх тензорами кручення. Зокрема якщо дві зв'язності мають однакові геодезичні лінії і тензори кручення то вони є однаковими.
Також у кожному класі зв'язностей із однаковими геодезичними лініями завжди існує зв'язність для якої тензор кручення є нульовим.
Зв'язок з тензором кривини і тотожності Біанкі Тензором кривини афінної зв'язності ∇ називається відображення TM × TM → End(TM), що кожній парі векторних полів X, Y присвоює лінійне перетворення, дія якого на векторному полі Z визначається як:
Значення тензора кривини, як і тензора кручень в кожній точці залежить лише від значення векторів у цій точці, а не всіх векторних полів. Нехай позначає циклічну суму по X, Y, and Z. Наприклад:
Тензори кривини і кручень пов'язані такими рівностями, що називаються тотожностями Біанкі:
1. Перша тотожність Біанкі:
2. Друга тотожність Біанкі:
Див. також Афінна зв'язність Тензор кривини
Джерела