В абстрактній алгебрі напівкільце — алгебрична структура, схожа на кільце, але без вимоги існування оберненого елемента щодо операції додавання.
Визначення та властивості напівкілець
Напівкільце — множина з бінарними операціями і , в якій для будь-яких елементів виконуються аксіоми: Berstel & Perrin (1985)Lothaire (2005) p.211
— комутативний моноїд. Тобто справедливі рівності: Комутативність: Асоціативність: Існування нейтрального елемента (нуля): — напівгрупа. Тобто має місце властивість: асоціативність: Дистрибутивність множення щодо додавання: Ліва дистрибутивність: Права дистрибутивність: Мультиплікативна властивість нуля:
Остання аксіома опускається в визначенні кільця, так як там вона випливає з інших аксіом, тут же її доводиться додавати. Відмінність напівкільця від кільця полягає тільки в тому, що по додаванню напівкільце утворює тільки комутативний моноїд, а не комутативну групу.
Напівкільце називається комутативним, якщо операція множення в ньому є комутативною: .
Напівкільце називається напівкільцем з одиницею, якщо в ньому існує нейтральний елемент щодо операції множення (що називається одиницею): .
Напівкільце називається мультиплікативно (або адитивно) скоротним, якщо з рівності (або, відповідно, ) випливає, що .
Напівкільце називається ідемпотентним, якщо для будь-якого виконується рівність
Приклади напівкілець
Напівкільце натуральних чисел з нулем. Тривіальне напівкільце: Двоелементне напівкільце: , , де позначає диз'юнкцію, а — виключну дизюнкцію на множині Квадратні n × n матриці з елементами з напівкільця натуральних чисел з нулем і операціями матричного додавання і множення. Також напівкільце утворюють квадратні матриці з елементами з будь-якого напівкільця. Якщо A — комутативний моноїд, то множина End(A) ендоморфізмів A утворює напівкільце, де додавання визначено поточково, а множення — композиція функцій. N [x], многочлени з натуральними коефіцієнтами утворюють комутативне напівкільце. Воно є вільним комутативним напівкільцем з єдиним генератором {x}. Невід'ємні дійсні числа зі звичайними операціями додавання і множення. (Max, +) і (min, +) — напівкільця дійсних чисел, в яких сумою двох чисел визначено їх максимум (відповідно мінімум), а множення — звичайне додавання дійсних чисел.
Напівкільце множин Напівкільце множин Noel Vaillant, Caratheodory's Extension , on probability.net. — система множин S, для якої виконані наступні умови:
.
Таким чином, напівкільце множин містить в собі порожню множиню, є замкнутим щодо перетину і будь-яка множина з напівкільця множин може бути записана у вигляді скінченного об'єднання множин, що належать цьому напівкільцю множин і попарно не перетинаються. Такі напівкільця часто використовуються в теорії міри.
Напівкільцем множин з одиницею називають напівкільце множин з таким елементом E, що його перетин з будь-яким елементом A напівкільця множин рівний A. Будь-яке кільце множин є напівкільцем множин. Прямий добуток напівкілець множин також є напівкільцем множин.
Див. також Кільце (алгебра)
Примітки
Література François Baccelli, Guy Cohen, Geert Jan Olsder, Jean-Pierre Quadrat, Synchronization and Linearity (online version) , Wiley, 1992, ISBN 0-471-93609-X Golan, Jonathan S., Semirings and their applications. Updated and expanded version of The theory of semirings, with applications to mathematics and theoretical computer science (Longman Sci. Tech., Harlow, 1992, . Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. xii+381 pp. ISBN 0-7923-5786-8