У математичній логіці, теорія є повна, якщо всі формули або її заперечення є доказовими. Рекурсивні аксіоматизовні теорії першого порядку, яких досить багато, які дозволяють сформулювати загальні математичні міркування, не може бути повними, що є наслідком теорем Геделя про неповноту.
Це значення повноти відрізняється від поняття повної логіки, яка означає, що для кожної теорії, яка може бути сформульована в логіці, будь-яке семантично допустиме твердження є доказовою теоремою на базі аксіом (для відповідного значення "семантично допустимий"). Теорема Геделя про повноту розглядає саме такий тип повноти і стверджуж, що логіка першого порядку є повною.
Повні теорії закриті за низки умов всередині моделювання :
Для набору : тоді і тільки тоді, коли і ,
Для набору : тоді і тільки тоді, коли або .
Максимальні послідовні набори є основним інструментом в теорії моделей класичної логіки і модальної логіки. Їх існування в даному випадку, як правило, є прямим наслідком Леми Цорна, заснована на ідеї про те, що протиріччя передбачає використання лише кінцеве число приміщень. У разі модальних логік, сукупність максимальних узгоджених множин, що проходять теорію T (закрито під правила посилення) може бути задана структурою моделі T , називається канонічної моделлю.
Приклади Деякі приклади повних теорій є: Арифметика Пресбургера для Евклідової геометрії Теорія щільних лінійних порядків Теорія алгебраїчних замкнених полів даної характеристики Теорія матеріально замкнутих полів Кожен рахункова теорія Кожен рахункова теорія
Дивись також
Посилання