У математиці, зокрема топології та диференціальній геометрії головним розшаруванням називається об'єкт який локально виглядає як прямий добуток X × G деякого простору X і групи G. Залежно від ситуації X може бути, наприклад, топологічним простором або диференційовним многовидом, а G відповідно топологічною групою або групою Лі.

Сам прямий добуток є окремим випадком головного розшарування який називається тривіальним головним розшаруванням.

Окрім топології й диференціальної геометрії де вони є одними з найважливіших об'єктів вивчення головні розшарування також широко використовуються в теоретичній фізиці зокрема калібрувальних теоріях.

Формальне визначення Єдиного стандартного визначення головного розшарування немає. Як і для деяких інших видів розшарувань у математичній літературі існує декілька визначень, що відрізняються декількома моментами. Нижче подано один з поширених варіантів визначення.

Нехай ⁣ — ⁣локально тривіальне розшарування, де , і є топологічними просторами, що називаються загальним простором, базовим простором і шаром відповідно, а — неперервне сюр'єктивне відображення. Нехай також  — покриття бази відкритими множинами, і  — відповідні їм відображення тривіалізації. Якщо множина є непустою і , то відображення визначене з рівності є автоморфізмом (гомеоморфізмом на себе) простору . Таким чином визначене відображення

Нехай тепер — топологічна група, для якої визначена неперервна дія на просторі . Якщо всі визначені вище автоморфізми визначаються дією якогось елемента групи і відображення є неперервним то таке розшарування називається G-розшаруванням.

G-розшарування називається головним розшаруванням, якщо стандартний шар є гомеоморфним самій групі . Дія групи на всіх шарах визначається дією на локальній тривіалізації, де вона визначається звичайним множенням елементів групи. На загальному просторі теж природно визначається множення. Якщо і , де і існує тривіалізація для якої то .

У випадку гладких структур визначення залишаються такими ж тільки поняття топологічних просторів, неперервних відображень і топологічних груп замінюють диференційовними многовидами, диференційовними відображеннями й групами Лі.

В альтернативних визначеннях часто не вимагається неперервність (диференційовність) відображень . Також вимоги локальної тривіальності замінюються на деякі слабші вимоги.

Властивості Однією з найважливіших властивостей головних розшарувань є досить простий критерій тривіальності розшарування, тобто критерій того чи є розшарування гомеоморфним (чи дифеоморфним для категорії гладких многовидів) тривіальному розшаруванню розшарування

Головне розшарування є тривіальним тоді й тільки тоді коли для нього існує глобальний переріз. Аналогічне твердження не є справедливим для довільного локально тривіального розшарування.

Більш загально для підмножини в існує локальна тривіалізація тоді і тільки тоді коли для цієї множини існує локальний переріз. Справді при наявності такої тривіалізації можна визначити переріз як , де є одиничним елементом групи .

Навпаки для деякого локального перерізу локальну тривіалізацію можна визначити як: для

Визначені локальними перерізами локальні тривіалізації є -еквіваріантними, тобто: якщо тривіалізацію записати як то відображення з шару над в групу задовольняє рівність:

Якщо тепер — деякий тривіалізаційний атлас і локальні перерізи на множинах визначені як і раніше і перетин двох множин є непустим, то де , а відображення визначене як і раніше.

Якщо є головним -розшаруванням у категорії гладких многовидів, то група Лі діє вільно на і множина орбіт є дифеоморфною до базового простору . Навпаки можна дати характеристику гладких головних розшарувань на основі цих властивостей: нехай є гладким многовидом, є групою Лі й визначена дія групи яка є гладкою, вільною і для відображень визначених цією дією прообрази компактних множин є компактними. Тоді: (простір орбіт) є гладким многовидом, Проєкція є субмерсією, є гладким головним розшаруванням.

Приклади Найпростішим прикладом головного розшарування є тривіальне розшарування У такому випадку є проєкцією на першу компоненту, усі тривіалізаційні відображення є тотожними відображеннями, а дія групи визначається множенням на дугу компонента.

Основним прикладом є так зване реперне розшарування або розшарування баз векторних просторів. У цьому випадку кожній точці базового простору присвоюється деяка впорядкований базис векторного простору так, що ці базиси змінюються неперервно зі зміною базисної точки. Структурною групою в цьому випадку є загальна лінійна група. Для категорії гладких многовидів найважливіший приклад такої побудови пов'язаний з дотичним розшаруванням. Нехай M — диференційовний многовид, — координатна множина і ⁣ — відповідні координатні функції. Тоді векторні поля є базисом дотичного розшарування . Усі інші базиси на цьому дотичному розшаруванні отримуються як де , а є диференційовним відображенням і дотичні простори в усіх точках множини ідентифікуються через базиси з координатних дотичних векторів. Тоді як тривіальні відображення можна взяти відображення Якщо — інша координатна множина і — відповідні координатні функції то перехід між векторними полями і відбувається за допомогою матриця Якобі координатних функцій. Ці матриці гладко залежать від елементів множини Множини довільного координатного атласу в цьому випадку будуть множинами тривіалізаційного атласу з визначеними вище відображеннями тривіалізації. Перехідні відображення на загальній лінійній групі тоді будуть рівні множенню справа на відповідні матриці Якобі Нехай — довільне локально тривіальне -розшарування з тривілізаційним атласом і відповідними неперервними відображеннями переходу . Тоді з цим розшаруванням природно пов'язане головне розшарування з тим самим базовим простором локальним покриттям і відображеннями ⁣, але стандартний шар у ньому замість рівний і локально розшарування має вигляд замість Замість дії групи на просторі розглядається дія групи через звичайне множення в групі. Визначене так розшарування називається асоційованим головним розшаруванням. Оскільки головні розшарування є загалом простішими, ніж довільні локально тривіальні розшарування то для вивчення властивостей останніх часто буває корисним вивчення асоційованих головних розшарувань.

Див. також Векторне розшарування Зв'язність на головних розшаруваннях Локально тривіальне розшарування

Література