Теорема Коші — Адамара — важливий результат в дійсному і комплексному аналізі про радіус збіжності степеневих рядів. Теорема названа на честь Огюстена Коші і Жака Адамара.
Твердження Нехай маємо деякий степеневий ряд з комплексними коефіцієнтами:
і — його радіус збіжності. Тоді справедлива формула:
де позначає верхню границю. Зокрема якщо то ряд є збіжним для всіх комплексних чисел, якщо ж то ряд є збіжним лише в нулі.
Аналог теореми справедливий і для функцій дійсної змінної.
Доведення Доведемо, що степеневий ряд збігається для і розбігається для . Тут визначене через границю в твердженні теореми.
Нехай і позначимо Тоді для довільного , існує лише скінченна підмножина чисел для яких . Отож для всіх окрім деякої скінченної кількості, тому ряд збігається якщо .
Навпаки для , для нескінченної кількості , тож якщо , ряд не може збігатися адже його члени не прямують до 0. Дане доведення справедливе як для додатного скінченного радіуса збіжності, так і для нульового і нескінченного.
Див. також Верхня і нижня границі Степеневий ряд
Джерела