Ін'єктивний модуль  — один з типів модулів, що є двоїстим до проєктивного модуля і широко використовується в гомологічній алгебрі і загалом в теорії кілець.

Означення Модуль над кільцем (як правило, вважається асоціативним з одиничним елементом) називається ін'єктивним, якщо для будь-якого гомоморфізма і мономорфізма існує такий гомоморфізм , що , тобто дана діаграма є комутативною:

Існує декілька еквівалентних означень: Для будь-якої точної послідовності R-модулів:

індукована послідовність

теж є точною;

Будь-яка точна послідовність R-модулів, що має вигляд

розщеплюється, тобто підмодуль є в М прямим доданком;

Модуль є прямим доданком у будь-якому модулі в якому він є підмодулем;

Для будь-якого ідеала (правого для правих модулів, лівого для лівих) кільця будь-який гомоморфізм -модулів може бути продовжений до гомоморфізма -модулів Дане означення називається критерієм Бера. У випадку комутативного нетерового кільця, критерій Бера достатньо перевірити для простих ідеалів.

Для всіх R-модулів T функтор Ext задовольняє умову (і тому )

В термінах теорії категорій можна дати визначення, що є ін'єктивним об'єктом категорії -модулів.

Приклади Нульовий модуль {0} є ін'єктивним. Для будь-якого поля k, довільний k-векторний простір Q є ін'єктивним k-модулем. Дійсно, якщо Q є підпростором простору V, то базис простору Q можна доповнити до базису простору V (наприклад, згідно леми Стейніца про заміну). Якщо K — лінійна оболонка векторів, що доповнюють базис Q до базиса V, то V є прямою сумою підпросторів Q і K, тобто Q є прямим доданком у кожному просторі підпростором якого він є Раціональні числа Q (з операцією додавання) утворюють ін'єктивну абелеву групу (тобто Z-модуль). Фактор-група Q/Z теж є ін'єктивним Z-модулем. Фактор-група Z/nZ для n > 1 є ін'єктивною як Z/nZ-модуль, але не ін'єктивною як абелева група. ля будь-якої області цілісності R з полем часток K, R-модуль K і ін'єктивним R-модулем, до того ж найменшим ін'єктивним R-модулем, що містить R. Для кілець Дедекінда, фактор-модуль K/R теж є ін'єктивним, і його незвідні прямі доданки є локалізаціями для ненульових простих ідеалів . Нульовий ідеал теж є простим і відповідає ін'єктивному модулю K. Тобто існує бієкція між простими ідеалами і незвідними ін'єктивними модулями над кільцем Дедекінда.

Властивості Кожен R-модуль М можна вкласти в ін'єктивний модуль. Більш того, кожен модуль М міститься в своїй ін'єктивній оболонці Q (M), тобто в ін'єктивному модулі Q (M), кожен ненульовий підмодуль якого має ненульовий перетин з М. Будь-яке вкладення модуля М в ін'єктивний модуль Q продовжується до вкладення ін'єктивної оболонки Q (M) в Q . Кожен R-модуль М має ін'єктивну резольвенту, тобто точну послідовність

в якій всі модулі є ін'єктивними. Довжина найкоротшої ін'єктивної резольвенти називається ін'єктивною розмірністю модуля. Довжиною тут називається число n, таке що Якщо такого числа не існує ін'єктивна розмірність вважається нескінченною. Ін'єктивна розмірність ін'єктивних модулів і тільки їх рівна нулю. Прямий добуток ін'єктивних модулів є ін'єктивним модулем. Навпаки, якщо прямий добуток модулів є ін'єктивним модулем то й кожен множник теж є ін'єктивним модулем. Ін'єктивний модуль Q дорівнює rQ для будь-якого елемента , що не є правим дільником нуля в R, тобто ін'єктивний модуль є подільним модулем. Зокрема, абелева група є ін'єктивним модулем над кільцем тоді і тільки тоді, коли вона подільна. Над комутативним нетеровим кільцем R кожен ін'єктивний модуль є прямою сумою ін'єктивних оболонок модулів виду , де — простий ідеал кільця R Всі (ліві і праві) модулі над кільцем R є ін'єктивними тоді і тільки тоді коли кільце є напівпростим. Кільце R є нетеровим зліва (справа) тоді і тільки тоді коли пряма сума довільної множини ін'єктивних лівих (правих) R-модулів є ін'єктивним лівим (правим) R-модулем. Іншою еквівалентною умовою є те, що довільний лівий (правий) R-модуль розкладається на пряму суму незвідних лівих (правих) R-модулів. Кільце R є артіновим зліва (справа) тоді і тільки тоді кожен ін'єктивний модуль є прямою сумою ін'єктивних оболонок простих модулів. В цьому випадку існує бієкція між простими ідеалами кільця і незвідними ін'єктивними модулями. Кожен простий ідеал в цьому випадку є анігілятором деякого (однозначно визначеного) простого модуля і відповідний незвідний ін'єктивний модуль є його ін'єктивною оболонкою. Для кільця всі підмодулі усіх ін'єктивних модулів є теж ін'єктивними тоді і тільки тоді коли кільце є артіновим напівпростим. Кільце є спадковим (тобто кожен ідеал є проективним модулем) якщо і тільки якщо для кожного ін'єктивного модуля над ним всі фактор-модулі теж є ін'єктивними. Іншою еквівалентною умовою є те, що сума двох ін'єктивних підмодулів у довільному модулі теж буде ін'єктивним модулем. Якщо кільце R є спадковим зліва (справа) і нетеровим зліва (справа), то кожен R-модуль містить найбільший ін'єктивний підмодуль. Проективність (ін'єктивність) всіх ін'єктивних (проективних) R-модулів еквівалентна тому, що R є квазіфробеніусовим кільцем. Для довільного R-модуля можна визначити модуль Тоді модуль M є плоским тоді і тільки тоді коли M* є ін'єктивним. Для нетерових кілець також навпаки модуль M є ін'єктивним тоді і тільки тоді коли M* є плоским.

Див. також Ін'єктивний об'єкт Проективний модуль

Література Картан А., Эйленберг С, Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; Маклейн С, Гомология, пер. с англ., М., 1966; Faith С, Lectures on infective modules and quotient rings, B.—Hdlb.—N.Y., 1967;

Sharpe D. W., Vamos P., Injective modules, Cambridge, 1972.