Правильний додекаедр Натисніть тут, щоб подивитися обертання моделіТипПравильний многогранникВластивостіОпуклий, рівносторонній, однорідний, вершинно-транзитивний, гране-транзитивнийКомбінаторикаЕлементи12 граней ({5}) 30 ребер 20 вершин (3-го степеня)Грані12 Правильних п'ятикутниківХарактеристика ЕйлераКонфігурація вершини5.5.5 = 53 В кожній вершині сходяться 3 п'ятикутника.Вершинна фігураПравильний трикутник з довжиною сторони КласифікаціяПозначення• D (в ) • D5 (в нотації Стюарта) • U23 (як однорідний многогранник) • C26 (в нотації Г. Коксетера) • W5 (в нотації М. Веннінґера)Символ ШлефліСимвол Витгоффа3 2 5Діаграма Коксетера-ДинкінаДіаграма ШлегеляГрупа симетріїIh, H3, [5,3], (*532), порядок 120 (повна ікосаедрична симетрія)Група обертаньI, [5,3]+, (532), порядок 60Двоїстий многогранникПравильний ікосаедр Розгортка Правильний додека́едр (від — дванадцять і — грань) — правильний дванадцятигранник, об'ємна геометрична фігура, поверхня якої складена з дванадцяти правильних п'ятикутників, є одним з п'яти опуклих правильних многогранників (тіл Платона).
Додекаедр складений з 12 правильних п'ятикутних граней.
Має 30 ребер однакової довжини та 20 вершин (у кожній сходяться 3 ребра). Кожна вершина додекаедра є вершиною трьох правильних п'ятикутників.
Його символ Шлефлі — . Це означає, що кожна вершина оточена трьома правильними п'ятикутниками; або також це означає для многогранника, що його грань — , правильний п'ятикутник а вершинна фігура — правильний трикутник.
Правильний додекаедр має повну ікосаедричну симетрію Ih, групу Коксетера [5,3], порядку 120, з абстактною структурою групи A5 × Z2.
Правильний додекаедр має 31 вісь обертової симетрії:
‒ 6 осей 5-го порядку ‒ проходять через центри протилежних граней; (поворот на 72°, 144°, 216° і 288° або , , , радіан);
‒ 10 осей 3-го порядку ‒ проходять через протилежні вершини; (поворот на 120° і 240° або і радіан);
‒ 15 осей 2-го порядку ‒ проходять через середини протилежних паралельних ребер (поворот на 180° або радіан).
Правильний додекаедр має 15 площин дзеркальної симетрії, що проходять через вершину та середину протилежного ребра для кожної грані.
Має центр симетрії (в ньому перетинаються всі осі та площини симетрії).
Сума плоских кутів при кожній з 20 вершин дорівнює 324°.
Правильний додекаедр є третім в нескінченній серії .
Правильний додекаедр має три зірчасті форми.
Геометрія
Правильний додекаедр з довжиною ребра можна побудувати, наростивши грані куба з довжиною ребра шістьма однаковими клинами певних розмірів таким чином, щоб сусідні трикутні та трапецієподібні грані клинів утворювали правильні п'ятикутники. У додекаедр можна вписати куб так, що сторони куба будуть діагоналями додекаедра. Правильний додекаедр може бути отриманий шляхом зрізання двох осьових вершин п'ятикутного трапецоедра. Всі 20 вершин додекаедра лежать по п'ять в чотирьох паралельних площинах, утворюючи в кожній з них правильний п'ятикутник.
Властивості Правильний додекаедр має найбільший об'єм серед всіх тіл Платона з тою ж довжиною ребра. Якщо п'ять платонових тіл мають однаковий об'єм, правильний додекаедр має найкоротшу довжину ребра.
Правильний додекаедр є найокруглішим з п'яти платонових тіл, тобто охоплює найбільший об'єм в межах кулі певного радіусу.
Перерізом правильного додекаедра площиною, перпендикулярною до осей симетрії 5-го порядку, може бути: правильний п'ятикутник ; Найбільший за площею переріз у формі правильного п'ятикутника (проходить через п'ять вершин додекаедра паралельно до його грані) ділить висоту додекаедра у співвідношенні правильний десятикутник (якщо площина проходить також через центр правильного додекаедра; таких перерізів додекаедр має 6) ; напівправильний рівнокутний десятикутник (має два типи ребер, що чергуються між собою).
Перерізом правильного додекаедра площиною, що проходить перпендикулярно до осі симетрії 3-го порядку (діагоналі правильного додекаедра) може бути:
Правильний трикутник; Правильний шестикутник (якщо площина проходить також через центр правильного додекаедра; таких перерізів додекаедр має 10) ; Напівправильний рівнокутний шестикутник (має два типи ребер, що чергуються між собою).
Правильний додекаедр має 43,380 розгорток (так само як і правильний ікосаедр). Для того, щоб зафарбувати правильний додекаедр так, що сусідні грані не матимуть однакового кольору, необхідно принаймні чотири кольори. Кількість способів розфарбувати правильний додекаедр так, щоб всі грані мали різні кольори дорівнює = 7 983 360 : група кольорів є групою перестановок з 12 елементів і має розмір 12!, тоді як порядок чистої обертової симетрії правильного додекаедра дорівнює 60 (половина від повної симетрії, тобто 120 елементів). Середини двох сусідніх ребер (що мають спільну вершину) та центр додекаедра утворюють рівнобедрений трикутник з внутрішніми кутами 36-72-72, який є «золотим трикутником».
Зв'язок з правильним ікосаедром
Правильний додекаедр та правильний ікосаедр є взаємно двоїстими многогранниками. Тобто центри граней правильного додекаедра є вершинами правильного ікосаедра, і навпаки, центри граней правильного ікосаедра є вершинами правильного додекаедра
Якщо правильний додекаедр має ребро довжиною 1, то його топологічно двоїстий ікосаедр (вершини знаходяться в центрах граней початкового додекаедра) має ребро довжиною , а канонічно двоїстий ікосаедр (напіввписані сфери канонічно-двоїстої пари многогранників збігаються) має ребро довжиною .
Серед правильних многогранників як додекаедр, так і ікосаедр являють собою найкраще наближення до сфери. Ікосаедр має найбільше число граней, найбільший двогранний кут і найщільніше притискається до своєї вписаної сфери. З іншого боку, додекаедр має найменший кутовий дефект, найбільший тілесний кут при вершині і максимально заповнює свою описану сферу.
Якщо додекаедр вписано у сферу, то він займає 66.49 % об'єму сфери. А ікосаедр, вписаний у ту саму сферу, займає 60.54 % її об'єму.
Сфера, що вписана в ікосаедр, охоплює 89,635 % його об'єму порівняно з 75,47 % для додекаедра.
Об'єм правильного додекаедра з довжиною ребра більш ніж у три з половиною рази більший за об'єм ікосаедра з такою самою довжиною ребер:
та .
Відношення об'ємів складає:
В правильний ікосаедр можна вписати правильний додекаедр таким чином, що всі 20 вершин додекаедра знаходитимуться в центрах граней ікосаедра. Правильний ікосаедр можна вписати в правильний додекаедр таким чином, що всі 12 вершин ікосаедраа будуть розташовані в центрах 12-ти граней додекаедра.
Зв'язок з «золотим прямокутником»
Золоті прямокутники з відношенням сторін (ϕ + 1) : 1 та ϕ : 1 ідеально вписуються в правильний додекаедр.
При цьому дві короткі сторони такого прямокутника збігаються з протилежними паралельними ребрами додекаедра.
Окрім того, центри граней правильного додекаедра (які є вершинами правильного ікосаедра) формують три золоті прямокутники, що перетинаються.
Формули У всіх формулах нижче:
— відношення пропорції «золотого перетину».
()
Діагоналі Кількість діагоналей опуклого многогранника: ,
де В — кількість вершин, Р — кількість ребер многогранника.
Для правильного додекаедра:
діагоналей (60 граневих та 100 просторових).. Діагоналі правильного додекаедра з довжиною ребра Граневі діагоналі≈ 1.618033988Просторові діагоналі≈ 2.288245611≈ 2.618033988Найдовша діагональ:≈ 2.802517076
Метричні характеристики Для правильного додекаедра з довжиною ребра Радіус вписаної сфери (Торкається всіх граней многогранника)≈ 1.113516364 Радіус напіввписаної сфери (Торкається всіх ребер многогранника)≈ 1.30901699 Радіус описаної сфери (Містить всі вершини многогранника)≈ 1.401258538 Висота H1 (Відстань між паралельними гранями)≈ 2.2270327 Висота H2 (Відстань між протилежними вершинами)≈ 2.802517077 Площа поверхні ≈ 20.6457288 ≈ 16.6508731 ≈ 10.5146222 Об'єм ≈ 7.66311896 ≈ 5.55029102 ≈ 2.78516386 Відношення радіусів однакове, як для правильного додекаедра, так і для правильного ікосаедра. Таким чином, якщо правильні додекаедр та ікосаедр мають однакові вписані сфери, то їх описані сфери також рівні між собою. Доведення цього математичного результату дано в Началах Евкліда.
Центр масс правильного додекаедра знаходиться в його геометричному центрі.
Момент інерції суцільного правильного додекаедра з масою та довжиною ребра (вісь обертання проходить через центри протилежних граней):
+Вписана сфера правильного додекаедраНапіввписана сфера правильного додекаедраОписана сфера правильного додекаедра
Точка в просторі Нехай описана сфера додекаедра має радіус R. Нехай дано довільну точку в просторі і відстані від неї до вершин додекаедра дорівнюють di. Тоді виконується рівність:
Якщо точка знаходиться на описаній сфері додекаедра, то виконується рівність:
Кути Плоскі кути граней при вершині: 108°.
Сума плоских кутів при кожній з 20 вершин дорівнює 324°. Кути многогранникаКут, під яким ребро видно з центру правильного додекаедра ≈ 0.7297276562 rad ≈ 41°48′ 37.1336248′′ Двогранний кут між гранями ≈ 2.0344439358 rad ≈ 116°33′ 54.184237′′ Тілесний кут при вершині ≈ 2.9617391538 срТілесний кут, під яким грань видно з центра многогранника ≈ 1.0471975512 срСферичність Зауважимо, що
Координати вершин
Двадцять вершин правильного додекаедра лежать по п'ять у чотирьох паралельних площинах, утворюючи в них чотири правильні п'ятикутники.
Відстані між цими площинами, якщо ребро правильного додекаедра дорівнює 1: +≈ 0.850650808352≈ 0.262865556059≈ 0.525731112119≈ 1.113516364412≈ 1.376381920471≈ 2.227032728823
Координати вершин правильного додекаедра з довжиною ребра a = 1:
, , ;
, , ;
— ці координати задають вершини верхньої та нижньої п'ятикутних граней, що паралельні до площини Oxy.
, , ; , ,.
— ці координати задають 10 вершин, що лежать в двох паралельних площинах між верхньою та нижньою гранями.
При цьому вісь Oz збігається з однією з осей обертової симетрії 5-го порядку, вісь Oy збігається з однією з осей обертової симетрії 2-го порядку, а площина Oxz є площиною дзеркальної симетрії правильного додекаедра. Центр многогранника знаходиться в початку координат.
Наступні декартові координати визначають 20 вершин правильного додекаедра: +Помаранчеві вершини формують куб (пунктирні лінії).Зелені вершини формують «золотий прямокутник» в yz-площині.Сині вершини формують «золотий прямокутник» в xz-площині.Рожеві вершини формують «золотий прямокутник» в xy-площині. де — відношення пропорції «золотого перетину».
Довжина ребра цього додекаедра дорівнює . Центр знаходиться в початку координат. Радіус описаної сфери дорівнює . При цьому координати (±1, ±1, ±1) є вершинами куба з довжиною ребра b = 2.
Осі координат Ox, Oy та Oz збігаються з осями обертової симетрії 2-го порядку, а координатні площини Oxz, Oyz та Oxy є площинами дзеркальної симетрії правильного додекаедра.
Граф правильного додекаедра
В теорії графів граф правильного додекаедра — це граф з 20 вершинами та 30 ребрами, що має кістяк правильного додекаедра.
Всі 20 вершин графа мають степінь 3, а отже, граф є кубічним.
Спектр графа :
Цей граф також можна побудувати як узагальнений граф Петерсена G(10,2), де вершини десятикутника з'єднані з вершинами двох п'ятикутників, один п'ятикутник з'єднаний з непарними вершинами десятикутника, а інший п'ятикутник з'єднаний з парними вершинами. Геометрично це можна представити як 10-вершинний екваторіальний пояс додекаедра, з'єднаний з двома 5-вершинними полярними областями, по одній з кожної сторони.
Знаходження гамільтонового циклу для цього графа відомо як гра «Ікосіан», яку в 1859 році запропонував В. Гамільтон. Мета гри — пройти вершинами додекаедра, переходячи від вершини до сусідньої, відвідавши кожну вершину рівно один раз, і при цьому повернувшись у початок (тобто знайти гамільтонів цикл на ребрах додекаедра).
Деякі гамільтонові цикли графа: Гамільтонів цикл графа додекаедра{1 — 8 – 9 — 18 — 19 — 11 — 10 — 2 ‒ 3 ‒ 12 — 13 — 20 — 16 — 17 ‒ 7 ‒ 6 — 15 — 14 — 4 ‒ 5 ‒ 1}