W-функція Ламберта визначається як обернена функція до , для комплексних . Позначається чи . Для довільного комплексного справедливо:
-функція Ламберта не може бути виражена в елементарних функціях. Застосовується в комбінаториці, наприклад, при підрахунку кількості дерев, та при розв'язку рівнянь.
Історія Функція вивчалась ще в роботі Леонарда Ейлера 1779 року, але не мала власної назви до 1980-х років. Як самостійна функція була введена в системі комп'ютерної алгебри Maple під іменем LambertW. Ім'я Йоганна Ламберта було вибране, оскільки Ейлер посилався в своїй роботі на праці Ламберта.
Многозначність
Оскільки функція не є ін'єктивною на інтервалі , є многозначною функцією на . Якщо обмежитись дійсними і вимагати , буде визначена однозначна функція .
Властивості Всі гілки W задовільняють диференціальні рівняння
Ці рівняння можуть бути проінтегровані із застосуванням підстановки x = w ew:
Використовуючи , отримаємо:
Асимптоти Ряд Тейлора для відносно 0 можна знайти застосувавши теорему Лагранжа про обернення ряду як:
Застосувавши ознаку д'Аламбера знаходимо радіус збіжності 1/e. Функція визначена рядом може бути аналітично розширена до голоморфної функції з точками розгалуження (−∞, −1/e].
Для великих значень x, W0 асимптотична до
де , та не від'ємні числа Стірлінга першого роду. Залишивши тільки 2 перші доданки, отримаємо:
Інша дійсна гілка, , визначена на інтервалі [−1/e, 0), для визначені наступні обмеження: .
Застосування
W-функція Ламберта була застосована для знаходження серед всіх організаційних структур оптимальної. Розроблено як частина теоретичних основ, що стосуються інформаційних об'єктів, векторних графів знань та ієрархічного впорядкування ентропії. Оптимальну структуру задає Ω -функція Мудрика, яка є алгебраїчним розв'язком рівняння Кучерова : ,
та виражається через W-функцію Ламберта наступним чином : . Використовується разом з концепціями вимірювань довжини інформаційного маршруту (візит та транзит вектори) для знаходження оптимальної ієрархічної та організаційної структури з мінімальною середньою довжиною шляху до цільового об'єкта методами подання та обробки знань .
Узагальнення ...
Див. також Рівняння xʸ = yˣ
Примітки
Джерела Corless et al. (1996). «On the Lambert W function». Adv. Computational Maths. 5: 329-359.