Істотні многовиди — особливий тип замкнутих многовидів. Поняття було введено ГромовимGromov, M.: Filling Riemannian manifolds, J. Diff. Geom. 18 (1983), 1–147..
Означення n-вимірний замкнутий многовид М називається істотним, якщо його фундаментальний клас [М] визначає ненульовий елемент в гомології його фундаментальної групи π. Точніше, природний гомоморфізм , не тривіальний.
Тут фундаментальний клас береться в гомологій з цілими коефіцієнтами, якщо многовиди є орієнтованим, і коефіцієнтами за модулем 2 в іншому випадку.
Приклади Все замкнуті поверхні (тобто 2-мірні многовиди) є істотними, за винятком 2-сфери S2. Дійсний проективний простір RPn є істотним, оскільки включення
є ін'єктивним в гомологіях і
— це K(π,1)-простір скінченної циклічної групи порядку 2. Всі компактні асферичні многовиди є істотними (оскільки асферічність має на увазі, що многовид сам вже є K(π,1)) Зокрема, всі компактні гіперболічні многовиди є істотними. Все лінзові простори є істотними.
Властивості Зв'язна сума істотних многовидів істотна. Прямий добуток істотних многовидів істотний. Будь-який многовид, що допускає відображення ненульового ступеня в істотний, також є істотним.
Примітки