Панцифрове число — ціле число, для якого в заданій основі серед значимих цифр зустрічається кожна цифра цієї основи хоча б раз. Наприклад 1 223 334 444 555 567 890 — панцифрове число з основою 10. Декілька перших панцифрових десяткових чисел:
1 023 456 789, 1 023 456 798, 1 023 456 879, 1 023 456 897, 1 023 456 978, 1 023 456 987, 1 023 457 689
Найменше панцифрове число при заданій основі b в десятковому записі можна отримати формулою: — найменші панцифрові числа в десятковому записі для перших 18 основ.
Далі наведено кілька найменших панцифрових чисел для певних основ:
ОсноваНайменше панцифровеДесяткове значення111210231021141 023758102345672 177 399101 023 456 7891 023 456 789121023456789AB754 777 787 027161023456789ABCDEF1 162 849 439 785 405 935361023456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ2 959 962 226 643 665 039 859 858 867 133 882 191 922 999 717 199 870 715РимськечисленняMCDXLIV1 444
В тривіальному сенсі, усі додатні цілі числа з основою 1 є панцифровими. В бінарному записі усі цілі числа панцифрові окрім 0 і чисел Мерсенна — . Чим більша основа, тим рідше зустрічаються панцифрові числа, хоча завжди можна знайти послідовність записавши всі цифри основи (не ставлячи нуль на перше місце), і додати певну кількість нулів до кінця числа.
І навпаки, чим менша основа, тим менше існує панцифрових чисел з неповторними цифрами. Єдине таке число для основи 2 це 2, але їх більше для основи 10.
В деяких випадках термін використовують для позначення тільки чисел з неповторними цифрами. Іноді число називають панцифровим навіть якщо воно не має нуля як значимої цифри, наприклад, 923 456 781.
Панцифрове число з основою 10 не може бути простим якщо воно не містить повторних цифр. Сума від 0 до 9 дорівнює 45, що задовільняє ознаку подільності для 3 і 9. Перше просте панцифрове число з основою 10 це 10 123 457 689. — список простих панцифрових чисел з основою 10.
Повторні цифри також мають бути присутні якщо панцифрове число є (в усіх базах окрім унарної). Найменше панцифрове паліндромне число в базі 10 є 1 023 456 789 876 543 201.
Найбільше панцифрове число без повторних чисел яке також є квадратом рівне 9 814 072 356.
Два панцифрових числа Фрідмана без нуля є 123 456 789 = ((86 + 2 × 7)5 — 91) / 34, і 987 654 321 = (8 × (97 + 6/2)5 + 1) / 34.
Хоча більшість сказаного не розповсюджується на римське числення, панцифрові числа наявні і в ньому: MCDXLIV, MCDXLVI, MCDLXIV, MCDLXVI, MDCXLIV, MDCXLVI, MDCLXIV, MDCLXVI., — списки панцифрових чисел в римському записі.
Панцифрові числа використовуються у фантастиці і рекламі. Номер соціального страхування 987-65-4321 — зарезервоване панцифрове число для використання в рекламі. Деякі компанії використовують панцифрові числа з повторними цифрами для кредитних карток що використовуються для прикладу (інші використовують рядок нулів).
Приклади панцифрових чисел з основою 10
123 456 789 — перше панцифрове число без нуля. 3 816 547 290 — єдине панцифрове число в якому перші n цифр діляться на n. 9 876 543 210 — Найбільше панцифрове число без повторюваних цифр. 1 023 456 789 — Перше панцифрове число. 9 814 072 356 — Найбільший панцифровий квадрат без повторних цифр (квадрат 99 066). 12 345 678 987 654 321 — Панцифрове число з усіма цифрами окрім нуля в зростаючому і спадаючому порядку. Квадрат 111 111 111. Також є паліндромом.
Посилання
De Geest, P. The Nine Digits Page
Примітки