В теорії чисел, теорема Островського, дає класифікацію всіх абсолютних значень на полі раціональних чисел. Окрім того теоремою Островського також називають пов'язані результати для довільних числових полів і про архімедові абсолютні значення для довільного поля чи тіла.
Допоміжні означення і твердження теореми Абсолютні значення і на полі K є еквівалентними якщо існує додатне дійсне число таке що
Тривіальним абсолютним значенням на полі K є абсолютне значення
Дійсним абсолютним значенням на полі раціональних чисел Q є стандартний модуль числа тобто
Для простого числа , -адичне абсолютне значення на Q можна задати в такий спосіб: довільне раціональне число , можна в єдиний спосіб записати як , де і цілі числа, що не діляться на , і є цілим числом; тоді
Теорема Островського: довільне нетривіальне власне значення на полі раціональних чисел є еквівалентним або дійсному власному значенню або -адичному абсолютному значенню для деякого простого числа .
Доведення
Розглянемо деяке абсолютне значення на множині . Є два можливі випадки,
(i) (ii)
Достатньо розглянути значення лише на цілих числах більших 1. Справді, якщо число з множини є таким, що для всіх цілих чисел більших 1, тоді ця рівність також тривіально виконується для 0 і 1, а для додатних раціональних чисел
Для від'ємних раціональних чисел:
Випадок I: ∃n ∈ N |n|∗ > 1 Нехай і — натуральні числа і . Записавши в системі числення з базою отримаємо:
Тоді, згідно властивостей абсолютних значень:
Тому
Проте ми маємо:
звідки випливає що:
Тепер виберемо таке що . Використовуючи це в попередньому отримаємо, що незалежно від вибору (в іншому випадку і тому ). Тож для довільного вибору отримуємо
тобто
Згідно симетрії, ця нерівність є рівністю.
Оскільки були довільними, існує константа, для якої , тобто для всіх цілих чисел . Тому, згідно попереднього, , що й доводить еквівалентність із звичайним модулем числа.
Випадок II: ∀n ∈ N |n|∗ ≤ 1 Оскільки абсолютне значення не є тривіальним, існує натуральне число для якого . Розклавши це число на прості множники,
можна помітити, що має бути меншим 1, хоча б для одного простого множника . Доведемо, що абсолютне значення може бути менше 1 лише для одного простого числа.
Припустимо, що є двома різними простими числами власне значення яких є меншим 1. Спершу нехай таке число, що . Згідно алгоритму Евкліда, існують числа для яких виконується рівність . Звідси отримуємо
що приводить до суперечності.
Отож маємо для деякого і для . Позначивши
отримуємо що для довільних натуральних чисел
Як і вище для довільних раціональних чисел , тобто абсолютне значення є еквівалентним з -адичним абсолютним значенням.
Узагальнення теореми Островського Теоремою Островського часто також називають більш загальні твердження для довільних числових полів, загальних полів чи тіл.
Твердження для числових полів Нехай — алгебричне числове поле, тобто скінченне розширення поля раціональних чисел і — його кільце цілих чисел. Оскільки є кільцем Дедекінда, то для будь-якого його простого ідеала і будь-якого елемента можна записати де — головний ідеал породжений цим елементом, а є ідеалами взаємно простими з ідеалом . Тоді можна ввести нормування і абсолютне значення де — норма ідеала .
Введена так функція дійсно є абсолютним значенням і з китайської теореми про лишки випливає, що для двох різних простих ідеалів ці абсолютні значення не є еквівалентними.
Іншими прикладами абсолютного значення є модулі числа індуковані вкладенням числового поля в поле дійсних чи комплексних чисел. А саме якщо є таким вкладенням то де в правій частині позначений звичайний модуль дійсного чи комплексного числа. Це абсолютне значення буде архімедовим. Спряжені комплексні вкладення визначають одне абсолютне значення і навпаки, якщо два різні дійсні чи комплексні вкладення задають одне абсолютне значення то вони є комплексно спряженими.
Теорема Островського для числових полів стверджує, що розглянуті вище приклади абсолютних значень є фактично єдиними для числових полів: якщо — алгебричне числове поле, то будь-яке його неархімедове нетривіальне абсолютне значення є еквівалентним для деякого простого ідеала , а будь-яке архімедове абсолютне значення є еквівалентним для деякого дійсного чи комплексного вкладення .
Твердження для раціональних функцій Нехай тепер — поле і — поле раціональних функцій від однієї змінної над . Оскільки є полем часток кільця , що є кільцем головних ідеалів, то на можна ввести нормування пов'язане із незвідним многочленом зі старшим коефіцієнтом рівним 1. Для довільного його значення визначається з розкладу , де многочлени є взаємно простими з .
Для довільного дійсного числа можна задати абсолютне значення породжене введеним нормуванням: Для різних таких абсолютні значення будуть еквівалентними, натомість для різних незвідних многочленів зі старшим коефіцієнтом рівним 1 відповідні абсолютні значення не будуть еквівалентними.
Окрім того на полі раціональних функцій можна ввести ще одне неархімедове абсолютне значення як: Це абсолютне значення не буде еквівалентним попереднім.
Теорема Островського для числових полів: будь-яке нетривіальне абсолютне значення на полі , що є тривіальним на є еквівалентним або для деякого незвідного многочлена зі старшим коефіцієнтом рівним 1 або
Архімедові абсолютні значення на полі та тілі Теоремою Островського також називають пов'язаний результат, що описує з точністю до еквівалентності всі архімедові абсолютні значення на довільному полі чи, більш загально, тілі: якщо — архімедове абсолютне значення на тілі K, то існує таке вкладення K на деяке всюди щільне підтіло тіла або (тіло кватерніонів), що є еквівалентним абсолютному значенню, індукованому з або ; якщо K є полем то всі можливі вкладення є на поля .
Див. також P-адичне число Абсолютне значення (алгебра) Модуль числа
Література