Теорема про суму кутів трикутника стверджує, що у евклідовому просторі сума кутів трикутника дорівнює 180°.

Еквівалентні формулювання такі. Сума кутів трикутника дорівнює радіан, розгорнутому куту, двом прямим кутам, або пів-оберту.

Довгий час було не відомо, чи буде в інших геометріях сума кутів відмінною. Пошук відповіді на це питання суттєво вплинув на математику у 19 столітті. Врешті-решт, було отримано позитивну відповідь: в інших просторах (геометріях) сума кутів трикутника може бути більше або менше, і сума кутів залежить від вибраного трикутника. Відмінність суми від 180° називається дефектом трикутника і використовується як характеристика геометрії простору.

Сума кутів у евклідовій геометрії

Для плаского многокутника в евклідовій площині сума кутів обчислюється за формулою

де  — кількість сторін багатокутника.

Приклади Обчислимо суми кутів три-, чотири-, та п'ятикутника: для трикутника (): для чотирикутника (): для п'ятикутника ():

Еквівалентні твердження

У евклідовій геометрії постулат про трикутник стверджує, що сума кутів трикутника дорівнює двом прямим кутам. Це твердження еквівалентне постулату про паралельні прямі. За умови, що виконуються аксіоми евклідової геометрії, наступні твердження є еквівалентними:

Постулат про трикутник: Сума кутів трикутника дорівнює двом прямим кутам. Аксіома Плейфайєра: Через точку, що не лежить на заданій прямій, можна провести одну і лише одну пряму, паралельну даній. Аксіома Прокла: Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних ліній, то вона повинна перетинати й іншу.Фактично, є твердженням, що відношення паралельності прямих є транзитивним відношенням. Постулат рівновіддаленості: Паралельні прямі рівновіддалені (тобто, відстань від будь-якої точки однієї прямої до іншої прямої одна й та ж сама). Властивість площі трикутника: Площа трикутника може бути скільки завгодно великою. Властивість трьох точок: Будь-які три точки лежать або на прямій або на колі. Теорема Піфагора: У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Див. також Начала Евкліда Аксіоматика Гільберта

Примітки