Сітка Аполлонія — фрактал, що будується за трьома колами, які попарно дотикаються. Являє собою граничну множину різноманітних послідовностей кіл, кожна з яких дотикається до трьох вже побудованих. Названа на честь грецького математика Аполлонія Перзького.
Побудова
Почнемо з трьох кіл, кожне з яких є дотичним до двох інших. Далі рекурсивно додамо до наявної фігури кола, кожне з яких дотикається будь-яких трьох вже побудованих кіл. На першому кроці ми додамо два, на другому шість і так далі.
Продовжуючи побудову, ми додаємо 2·3n нових кіл на n-ому кроці.
Замикання побудованих кіл називається сіткою Аполлонія.
Властивості
Сітка Аполлонія має розмірність Гаусдорфа близько 1,3057. Сітку Аполлонія можна подати як об'єднання двох підмножин, гомеоморфних трикутнику Серпінського, зі спільними вершинами. Підгрупа групи перетворень Мебіуса, що складається з таких перетворень, які переводять сітку Аполлонія в себе, діє транзитивно на колах сітки. Сітку Аполлонія можна визначити як граничну множину групи перетворень площини утвореної інверсіями в чотирьох попарно дотичних колах.
Кривини Кривина кола визначається як обернене до його радіусу. Від'ємна кривина вказує на те, що всі інші кола дотикаються до цього кола зсередини. Це обмежувальне коло. Нульова кривина дає пряму (коло з нескінченним радіусом). Додатна кривина вказує на те, що всі інші кола дотикаються до цього кола зовні. Це коло знаходиться всередині кола з від'ємною кривиною. В сітці Аполлонія всі кола мають додатну кривину, крім одного, обмежувального кола.
Цілі сітки Аполлонія Нехай позначають кривини чотирьох попарно дотичних кіл. За теоремою Декарта:
Звідси випливає, що якщо чотири кола, що попарно дотикаються, мають цілі кривини, то й всі інші кола в їх сітці Аполлонія мають цілі кривини. Є нескінченно багато таких цілих сіток. Ronald L. Graham, Jeffrey C. Lagarias, Colin M. Mallows, Alan R. Wilks, and Catherine H. Yan; "Apollonian Circle Packings: Number Theory" J. Number Theory, 100 (2003), 1-45 Нижче наведено декілька цілих сіток з позначеними кривинами кіл.
Варіації й узагальнення
Тривимірний еквівалент сітки Аполлонія — Аполлонієве пакування сфер.
Див. також Задача Аполлонія Граф Аполлонія Трикутник Серпінського Фрактальна графіка
Примітки