Серединний трикутник (додатковий трикутник) — трикутник , вершинами якого є середини сторін даного базового трикутника .
Сторони серединного трикутника є середніми лініями .
Є окремим випадком серединного багатокутника при кількости сторін багатокутника .
Властивості
Серединний трикутник є образом даного початкового трикутника при гомотетії з центром у центроїді та коефіцієнтом . Таким чином, серединний трикутник подібний до початкового і має той самий центроїд і ті самі медіани, що й початковий трикутник . Довжини сторін серединногоо трикутника вдвічі менші за довжини сторін початкового трикутника . Периметр серединного трикутника дорівнює півпериметру трикутника , а його площа дорівнює чверті площі трикутника . Чотири трикутники, на які розділяється початковий трикутник сторонами його серединного трикутника , рівні за трьома сторонами, тому їхні площі рівні.Через це іноді «серединними» називають одразу всі чотири, рівні між собою, внутрішні трикутники, одержані з початкового трикутника проведенням у ньому трьох середніх ліній (у термінології серединним називають тільки один з них — центральний). Ортоцентр серединного трикутника збігається з центром описаного кола даного трикутника , що доводить належність центра описаного кола, центроїда й ортоцентра одній прямій — прямій Ейлера. Серединний трикутник є подерним трикутником центра описаного кола трикутника відносно трикутника . Коло дев'яти точок трикутника є описаним для його серединного трикутника , а тому центр кола дев'яти точок є центром кола, описаного навколо серединного трикутника . Точка Нагеля серединного трикутника є центром вписаного кола початкового трикутника . Altshiller-Court, Nathan. College Geometry. Dover Publications, 2007. Серединний трикутник конгруентний до трикутника, вершинами якого є середини відрізків, що з'єднують ортоцентр і вершини початкового трикутника . Центр вписаного кола трикутника лежить всередині його серединного трикутника .William N. Franzsen The distance from the incenter to the Euler line. // Forum Geometricorum. — 2011. — Вип. 11.
Точка всередині трикутника є центром вписаного у трикутник еліпса тоді й тільки тоді, коли ця точка лежить усередині серединного трикутника. Chakerian G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979. Серединний трикутник є єдиним вписаним трикутником, для якого жоден із трьох інших трикутників не має площу, меншу за площу цього трикутника. Ricardo M. Torrejon, "On an Erdos inscribed triangle inequality", Forum Geometricorum, — 2005, — Вип. 5. Центр кола, вписаного в серединний трикутник даного трикутника , є центром мас периметра трикутника (центром Шпікера); Тобто цей центр є центром мас однорідної дротяної фігури, що відповідає трикутнику .
Координати Нехай , , - довжини сторін трикутника . Тоді трилінійні координати вершин серединного трикутника задаються формулами:
Антисерединний трикутник Якщо — серединний трикутник для , то є антисерединним трикутником для . Антисерединний трикутник для утворюється трьома прямими, паралельними сторонам — паралельно AB через точку C, паралельно AC через точку B і паралельно BC через точку A.
Трикутні координати вершин антисерединного трикутника задаються формулами:
Примітки
Література
Посилання