Нерівність Шапіро запропонована Г. Шапіро 1954 року.
Заява про нерівність Нехай n — натуральне число, а — додатні числа, такі що: n парне і , або n непарне і .
Тоді Нерівність Шапіро стверджує, що
де .
Для більших значень n нерівність і сувора нижня межа дорівнює , де .
Початкові доведення нерівності в основних випадках (Годунова та Левін, 1976) та (Troesch, 1989) покладаються на чисельні розрахунки. 2002 року PJ Bushell та JB McLeod опублікували аналітичні доведення для .
Значення γ було визначено 1971 року Володимиром Дрінфельдом, який виграв Медаль Філдса 1990 року. Окремо Дрінфельд показав, що точна нижня межа γ задана , де ψ — функція опуклої оболонки і (Тобто область над графіком ψ є опуклою оболонкою об'єднання областей над графіками f і g).
Внутрішні локальні міміми лівої частини завжди (Nowosad, 1968).
Контрприклади для більших n Перший контрприклад був знайдений Lighthill 1956 року для : , де близька до 0. Тоді ліва частина дорівнює , тобто , коли достатньо мале.
Наступним контрприклад для навів Троуш (1985): = (0, 42, 2, 42, 4, 41, 5, 39, 4, 38, 2, 38, 0, 40) (Troesch, 1985)
Література
They give an analytic proof of the formula for even n ≤ 12, from which the result for all n ≤ 12 follows. They state n = 23 as an open problem.
Посилання Usenet discussion in 1999 (Dave Rusin's notes) PlanetMath