Алгебра Гопфа — асоціативна алгебра з одиницею, що є також коасоціативною коалгеброю з коодиницею і, таким чином, біалгеброю з антигомоморфізмом спеціального виду. Названа на честь Гайнца Гопфа.
Алгебри Гопфа зустрічаються в алгебраїчній топології, де вони виникли у зв'язку з концепцією H-простору, в теорії групових схем, в теорії груп (завдяки концепції групового кільця), і в багатьох інших розділах математики, що робить їх одним з найвідоміших прикладів біалгебри. Алгебри Гопфа також вивчаються як самостійний предмет, у зв'язку з великою кількістю певних класів алгебр Гопфа і проблем їх класифікації.
Означення
Алгебра Гопфа — асоціативна і коасоціативна біалгебра над полем разом з -лінійним відображенням (що називається антиподом) таким, що наступна діаграма є комутативною:
Тут — кодобуток біалгебри, — добуток алгебри, — одиниця алгебри й — коодиниця.
У позначеннях Свідлера, ця властивість записується як: .
Наведене означення можна узагальнити для алгебр над кільцями (досить в означенні замінити поле на комутативне кільце ).
Означення алгебри Гопфа є двоїстим самому собі (це відображено в симетрії наведеної діаграми), зокрема, якщо можна задати двоїсту алгебру до (це завжди можливо якщо є скінченновимірним простором) то вона автоматично є алгеброю Гопфа.
Структурні константи Зафіксувавши базис алгебри як векторного простору, алгебру Гопфа можна описати за допомогою структурних констант
для множення:
для кодобутку:
для антипода:
Асоціативність алгебри тоді вимагає рівності
для коасоціативності має виконуватися рівність
Також для структурних констав має бути
Властивості антипода
В означенні алгебр Гопфа для антипода часто ставиться вимога існування -лінійного оберненого відображення, яке автоматично існує у скінченновимірному випадку, або якщо алгебра є комутативною, кокомутативною або, більш загально, квазітрикутною.
Взагалі кажучи, є антигомоморфізмом Dascalescu, Nastasescu & Raianu (2001), Prop. 4.2.6, p. 153 , так - гомоморфізм, який буде автоморфізмом, якщо є оборотним.
Якщо , то алгебра Гопфа, як кажуть, є інволютивною (основним прикладом інволютивної алгебри є *-алгебра). Якщо — скінченновимірна напівпроста алгебра над полем характеристики нуль, що є комутативною або кокомутативною, то вона є інволютивною.
Якщо біалгебра допускає антипод , то є єдиним (довільна біалгебра допускає щонайбільше 1 структуру алгебри Гопфа). Dascalescu, Nastasescu & Raianu (2001), Remarks 4.2.3,
Антипод є аналогом відображення інверсії на групі, яке відображає у .
Підалгебри Гопфа
Підалгебра алгебри Гопфа є підалгеброю Гопфа, якщо вона є підкоалгеброю і антипод відображає в . Іншими словами, підалгебра Гопфа - це підпростір в алгебрі Гопфа, замкнутий щодо множення, кодобутку й антипода. Теорема Ніколса — Зеллер (Nichols - Zoeller) про вільність стверджує, що якщо є скінченновимірною, то натуральний -модуль є вільним модулем скінченного рангу, що дає узагальнення теореми Лагранжа для підгруп. Як наслідок цього, підалгебра Гопфа напівпростої скінченновимірної алгебри Гопфа автоматично є напівпростою.
Підалгебра Гопфа називається правою нормальною підалгеброю алгебри Гопфа , якщо вона задовольняє умові стабільності, для всіх з , де приєднане відображення задане як для всіх з і з . Підалгебра Гопфа є лівою нормальною в якщо вона інваріантна при лівому приєднаному відображенню для всіх з . Обидві умови нормальності є еквівалентними, якщо антипод є бієктивним. У цьому випадку називається нормальною підалгеброю Гопфа.
Нормальна підалгебра Гопфа в задовольняє умові рівності підмножин: , де позначає ядро коодиниці . З цієї умови нормальності випливає, що — ідеал алгебри Гопфа (тобто є ідеалом алгебри в ядрі коодиниці, коідеалом коалебри й стійким під дією антипода). Як наслідок, можна визначити факторалгебру Гопфа і епіморфізм , аналогічно відповідним конструкціям нормальних підгруп і факторгруп у теорії груп. S. Montgomery, Hopf algebras and their actions on rings, Conf. Board in Math. Sci. vol. 82, A.M.S., 1993. ISBN 0-8218-0738-2
Приклади Залежить від Кодобуток Коодиниця Антипод Комутативність Кокомутативність Зауваження Групова алгебра KG групи G Δ(g) = g ⊗ g для всіх g з G ε(g) = 1 для всіх g із G S(g) = g−1 для всіх g з G тільки коли G є комутативною так функції f зі скінченної Зі скінченності G випливає природний ізоморфізм KG ⊗ KG і KGxG. Це використовується для формули кодобутку. Для нескінченних груп G, KG ⊗ KG є власною підмножиною KGxG. групи в K, KG (з поточковим додаванням і множенням) скінченна група G Δ(f)(x,y) = f(xy) ε(f) = f(1G) S(f)(x) = f(x−1) так тільки якщо G є комутативною Функції представлення компактних групКомпактна група G Δ(f)(x,y) = f(xy) ε(f) = f(1G) S(f)(x) = f(x−1) так тільки якщо G є комутативною Навпаки, кожна комутативна, інволютивна, редукована алгебра Гопфа над C зі скінченним інтегралом Хаара може бути отримана в такий спосіб (двоїстість Танаки — Крейна). Регулярні функції на алгебричних групах Δ(f)(x,y) = f(xy) ε(f) = f(1G) S(f)(x) = f(x−1) так тільки якщо G є комутативною Навпаки, кожна комутативна алгебра Гопфа над полем одержується в такий спосіб їхньої групової схеми., section 2.3 Тензорна алгебра T(V) Векторний простір V Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x, x з V, Δ(1) = 1 ⊗ 1 ε(x) = 0 S(x) = −x для всіх x з 'T1(V) (і далі узагальнивши на вищі тензорні степені) Тільки якщо dim(V)=0,1 так Симетрична алгебра і зовнішня алгебра (що є факторалгебрами тензорної алгебри) теж є алгебрами Гопфа із відповідними означеннями Універсальна обгортуюча алгебра U(g) Алгебра Лі g Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x для всіх x з g (це правило можна в єдиний спосіб продовжити на всю U) ε(x) = 0 для всіх x з g (із продовженням на U) S(x) = −x тільки якщо g є комутативною так Алгебра Свідлера H=K[c, x]/c2 = 1, x2 = 0 і xc = −cx. K — поле характеристика якого не рівна 2 Δ(c) = c ⊗ c, Δ(x) = c ⊗ x + x ⊗ 1, Δ(1) = 1 ⊗ 1 ε(c) = 1 і ε(x) = 0 S(c) = c−1 = c і S(x) = −cx ні ні Векторний простір породжений елементами {1, c, x, cx} і має розмірність 4.Це найменший приклад алгебри Гопфа, що не є ні комутативними, ні кокомутативними. Кільце симетричних функцій Michiel Hazewinkel, Symmetric Functions, Noncommutative Symmetric Functions, and Quasisymmetric Functions, Acta Applicandae Mathematica, January 2003, Volume 75, Issue 1-3, pp 55–83 в термінах повних однорідних симетричних функцій hk (k ≥ 1):
Δ(hk) = 1 ⊗ hk + h1 ⊗ hk−1 + ... + hk−1 ⊗ h1 + hk ⊗ 1. ε(hk) = 0 S(hk) = (−1)k ek так так
Когомології груп Лі
Алгебра когомологій групи Лі — алгебра Гопфа: множення задано -добутком, а кодобуток
множенням групи .
Це спостереження було фактично джерелом поняття алгебри Гопфа. Використовуючи цю структуру, Гопф довів структурну теорему для алгебри когомологій груп Лі.
Теорема Гопфа Hopf, 1941. Нехай — скінченновимірна, суперкомутативна, кокомутативна алгебра Гопфа над полем характеристики 0. Тоді (як алгебра) є вільною зовнішньою алгеброю з генераторами непарного степеня.
Квантові групи
Всі приклади вище є або комутативними (тобто множення є комутативним) або кокомутативними (тобто , де — перестановка тензорних множників, задана як . Іншими цікавими прикладами алгебр Гопфа — деякі деформації або «квантування» прикладу 4, які не є ні комутативними, ні кокомутативними. Ці алгебри Гопфа часто називають квантовими групами.
Ідея полягає в наступному: звичайна алгебрична група може бути описана в термінах алгебри Гопфа регулярних функцій. Ми можемо тоді думати про деформації цієї алгебри Гопфа як про опис деякої «квантованої» алгебричної групи (хоча вона і не є алгебричною групою). Багато властивостей алгебричних груп, а також конструкції з ними мають свої аналоги для деформованих алгебр Гопфа. Звідси назва «квантова група».
Аналогія з групами
Аксіоми груп можна подати за допомогою тих же діаграм (еквівалентностей, операцій) що й алгебри Гопфа, де — множина, а не модуль. У цьому випадку: кільце замінюється множиною з 1 елемента є природна коодиниця (відображення в єдиний елемент) є природний кодобуток (діагональне відображення) одиниця — нейтральний елемент групи множення — множення в групі антипод — обернений елементу в групі.
В цьому сенсі групи можна розглядати як алгебри Гопфа над полем з одного елемента. Group = Hopf algebra " Secret Blogging Seminar , Group objects and Hopf algebras , video of Simon Willerton.
Примітки
Див. також Коалгебра
Література . Pierre Cartier, A primer of Hopf algebras , IHES preprint, September 2006, 81 pages
H. Hopf, Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Ann. of Math. 42 (1941), 22–52. Reprinted in Selecta Heinz Hopf, pp. 119–151, Springer, Berlin (1964). ,
.