Гармонічна четвірка точок — четвірка точок на проєктивній прямій, подвійне відношення яких . В цьому випадку кажуть також, що точки і гармонічно спряжені відносно і пишуть .
Гармонічна четвірка прямих — четвірка прямих у проєктивній площині, що проходять через одну точку , для яких будь-яка четвірка точок , така, що , що знаходяться на одній прямій, є гармонічною. В цьому випадку пишуть .
Властивості Якщо гармонічну четвірку прямих перетинає пряма, то на цій прямій утворюється гармонічна четвірка точок. На кожній стороні повного чотиривершинника є гармонічна четвірка точок. На кожній діагоналі повного чотиривершинника є гармонічна четвірка точок.
Побудова
Для будь-яких трьох точок, що лежать на одній прямій, користуючись гармонічними властивостями повного четиривершинника, можна побудувати четверту точку так, що вийде гармонічна четвірка точок. А саме, точки перетину поротилежних сторін повного чотиривершинника і точки перетину діагоналей з прямою, що проходить через ці точки, утворюють гармонічну четвірку точок.
Гармонічна четвірка на розширеній евклідовій площині Якщо точка невласна, то четвірка є гармонічною, якщо — середина відрізка . Якщо — повний чотиривершинник і його діагональні точки — невласні, то на розширеній евклідовій площині — паралелограм, а з його гармонічних властивостей випливає, що точка перетину його діагоналей ділить їх навпіл. Якщо — повний чотиривершинник, у якого одна діагональна точка — невласна, , то на розширеній евклідовій площині — трапеція, а з його гармонічних властивостей випливає, що ділить навпіл.
Див. також Відношення напрямлених відрізків
Література