Принцип максимуму модуля — теорема у комплексному аналізі, що описує одну з основних властивостей модуля голоморфних функцій.
Твердження Якщо є голоморфною в деякій області і існує точка така, що у всій області виконується нерівність , то .
Іншими словами, модуль голоморфної функції, відмінної від константи, не може мати локальних максимумів всередині області .
Отже, якщо є неперервною в обмеженій замкнутій області і голоморфною у внутрішніх точках, то найбільше значення модуля функції досягається тільки в граничних точках області .
Доведення Існує кілька доведень теореми. Зокрема принцип максимуму модуля є наслідком принципу збереження області.
Оскільки образом голоморфної функції на області теж є область, то для кожної точки образу існує круг, що належить образу. У цьому кругу, очевидно, існують точки як із більшим, так і з меншим модулем, ніж у центрі круга. Оскільки точка у образі функції вибрана довільно це завершує доведення.
Також теорему можна довести за допомогою теореми про середнє значення. Припустимо, що точка в якій модуль функції приймає максимальне значення.
Нехай , таке що . Згідно теореми про середнє значення:
Тоді:
Тому має виконуватися:
де є колом радіуса з центром в точці .
До того ж рівність можлива тільки тоді коли є константою на . Оскільки рівність виконується для всіх , буде константою на . Тоді має бути константою на , що суперечить умові.
Як наслідок:
Наслідки Принцип мінімуму модуля. Якщо голоморфна в деякій області , що не є рівною нулю в жодній точці, і існує точка така, що у всій області виконується нерівність , то . (Тобто локальні мінімуми модуля голоморфної функції, що не є рівною константі, можуть досягатися тільки в тих точках, де функція рівна нулю.) Принцип максимуму дійсної і уявною частини. Якщо для голоморфної функції в точці досягається локальний максимум (мінімум) її дійсної (або уявної) частини, то функція є константою. (Тут використовується звичайний принцип максимуму модуля для функцій і , а також рівність .) Нехай — компактна підмножина. Для будь-якої функції , неперервної на і голоморфної всередині , виконано рівність: Якщо послідовність таких функцій рівномірно збігається на границі компакта , тоді вона рівномірно збігається на всьому .
Узагальнення
Твердження принципу максимуму модуля є справедливим і у випадку випадку, якщо є голоморфною функцією на зв'язаному комплексному многовиді, зокрема на рімановій поверхні.
Замість голоморфності у твердженні теореми достатньо припустити тільки, що — (комплексна) гармонічна функція, тобто є гармонічними як дійсні функції двох дійсних змінних. Довільна голоморфна функція є комплексною гармонічною.
Для голоморфної функції модуль є логарифмічно субгармонічною функцією, тобто її логарифм є субгармонічною функцією.
Принцип максимуму модуля узагальнюється і на голоморфні відображення. Нехай — голоморфне відображення області в просторі , тобто — голоморфні функції і — евклідова норма. Тоді ні в якій точці функція не може досягати локального максимуму.
Принцип максимуму модуля є справедливий щоразу, коли виконується принцип збереження області.
Див. також Лема Шварца Принцип збереження області
Джерела
Ludger Kaup, Burchard Kaup, Holomorphic functions of several variables:an introduction to the fundamental theory. Walter de Gruyter, 1983 ISBN 978-3110041507 .