Локальне поле — певний тип полів з топологією, що часто виникають як поповнення полів. Ця топологія породжується для цих полів деяким абсолютним значенням. Локальні поля пов'язані із глобальними полями — скінченними розширеннями раціональних чисел і раціональних функцій однієї змінної над скінченними полями.
Означення Локально компактне топологічне поле з недискретною топологією називається локальним.
Типи локальних полів Існує два основних види локальних полів: ті, в яких абсолютне значення є архімедовим, і ті, в яких це не так. Перші називають архімедовими локальними полями, а другі — неархімедовими локальними полями .
Неархімедові локальні поля можна також охарактеризувати як повні поля щодо дискретного нормування для яких поле лишків є скінченним.
Будь-яке локальне поле є ізоморфним (як топологічне поле) одному з таких полів: Архімедові локальні поля (характеристика дорівнює нулю): поле дійсних чисел і поле комплексних чисел із стандартними топологіями для цих полів. Неархімедові локальні поля нульової характеристики: р-адичні числа і їх скінченні розширення. Неархімедові локальні поля характеристики : формальні ряди Лорана над скінченним полем і їх скінченні розширення.
Властивості
Абсолютне значення Якщо на локальному полі K задано відповідне абсолютне значення то на K можна ввести топологію: для додатного дійсного числа m, позначимо Bm підмножину K рівну
Тоді b+Bm є базою околів точки b у K. Навпаки, якщо задана локально компактна недискретна топологія то адитивна група локального поля, як будь-яка локально компактна топологічна група, допускає єдину (з точністю до множення на додатне число) міру Хаара μ. На полі можна ввести абсолютне значення як
для деякого (а тому і будь-якої) вимірної підмножини з ненульовою скінченною мірою Хаара.
Неархімедові локальні поля У неархімедовому локальному полі з абсолютним значенням можна дати наступні означення: Кільце цілих чисел
Воно утворює кільце дискретного нормування і компактну кулю в . Одиниці в кільці цілих чисел визначаються як . Вони утворюють групу і одиничну сферу в . Єдиний ненульовий простий ідеал в кільці цілих чисел є відкритою одиничною кулею
і його породжуючий елемент називається уніформізуючим елементом . Поле лишків є скінченним, оскільки воно є компактним і дискретним. При цьому , де — потужність поля лишків . Кожен ненульовий елемент можна записати як , де — одиничний елемент, — ціле число, яке визначається однозначно за . Зокрема
Див. також Абсолютне значення (алгебра) Нормування (алгебра) P-адичне число
Література