Біно́м Ньютона (двочлен Ньютона) — вираз вигляду . Біном розкладається в суму одночленів, які є добутками деяких степенів його доданків a і b. В шкільній програмі вивчається формула бінома Ньютона із степенями n=2 та 3:
Спробуємо розкласти в многочлен у загальному випадку n. Запишемо його у вигляді добутку, пронумерувавши дужки:
Кожний доданок містить n множників: (n-k) множників a і k множників b, тобто має вигляд , де . Кожний такий доданок взаємно однозначно відповідає підмножині номерів дужок, з яких для утворення цього доданка, бралися множники a. Таким чином, доданків рівно стільки, скільки таких підмножин. В комбінаториці це число називається числом комбінацій з n по k і позначається або . Отже,
Коефіцієнти при називаються біноміальними, оскільки записуються в розкладі бінома .
Біноміальні коефіцієнти мають очевидну властивість симетрії:
Розглянемо окремі випадки бінома Ньютона: при b=1 маємо :, при a=b=1 маємо :, при a= −1, b=1 маємо :.
Запишемо біноміальні коефіцієнти для початкових значень n=0, 1, …, 5 у трикутну таблицю (трикутник Паскаля):
З таблиці видно, що кожний елемент, який не є першим у своєму рядку, є сумою елемента над ним і елемента, розташованого над ним і ліворуч: . Доведення цього факту можливе методом математичної індукції.
Див. також Біноміальний коефіцієнт Біном (двочлен) Біноміальний розподіл
Джерела
И. И. Ежов, А. В. Скороход, М. И. Ядренко. Элементы комбинаторики. Москва: Наука, 1977. — 80 с. Вилекин Н. Я. Комбинаторика. Ленинград: Наука, 1969. — 328 с.
Посилання Комбинаторика и бином Ньютона