Радіальна базисна функція (РБФ) — дійснозначна функція, чиє значення залежить від відстані до початку системи координат, тобто , або від відстані до деякої іншої точки , яка називається центром, тоді . Функція , що задовольняє умові , є . Нормою зазвичай є евклідова відстань, хоча можлива будь-яка функція відстані.
Суми радіальних базисних функцій зазвичай використовують для апроксимації заданих функцій. Процес апроксимації можна розглядати як просту нейронну мережу. Саме в такому контексті вони й виникли у роботі та Девіда Луї у 1988 роціRadial Basis Function networks , що походить з дослідження 1977 року.: «We would like to thank Professor M.J.D. Powell at the Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics at Cambridge University for providing the initial stimulus for this work.» РБФ також використовуються як в методі опорних векторів.
Типи Часто використовувані типи радіальних базисних функцій (підставляємо ): Гаусова: Мультиквадратична: Зворотна квадратична: Зворотна мультиквадратична: Поліноміальний сплайн: (спеціальний полігармонічний сплайн): Лінійна: Кубічна: Функція ВендлендаWendland H., Piecewise polynomial, positive definite and compactly supported radial functions of minimal degree, Advances in Comp. Mathematics, 4, 1995.: Функція ВуWu Z., Multivariate compactly supported positive definite radial functions, Advances in Computational Mathematics, 4(3), 1996.:
Апроксимація
Радіальні базисні функції зазвичай використовуються для побудови апроксимації функцій у вигляді де функція, яка апроксимується представлена у вигляді суми радіальних базисних функцій, кожна з яких береться з різним центром , і множиться на відповідну вагу . Ваги можна оцінити за допомогою матричних методів лінійних найменших квадратів, бо функція, яка апроксимується є лінійною відносно вагів .
Такі методи апроксимації зокрема використовуються в часових рядах, при управлінні нелінійними системами додаючи достатньо просту хаотичну поведінку та при 3D реконструкції у комп'ютерній графіці.
Мережа РБФ
Суму можна інтерпретувати як доволі просту одношарову штучну мережу, яка називається мережею радіальних базисних функцій в якій РБФ відіграють роль функцій активації мережі. Можна показати, що будь-яку неперервну функція на відрізку можна інтерполювати з довільною точністю, як суму такого вигляду, якщо використати достатньо велике число РБФ.
Апроксимація є диференційовною відносно ваг . Тому ваги можуть бути навчені за допомогою стандартних ітераційних методів для нейронних мереж.
Використання радіальних базових функцій таким способом дає розумний інтерполяційний підхід, за умови, що тренувальна множина вибрана таким чином, що вона охоплює весь діапазон систематично (ідеально мати рівновіддалені точки). Проте, без поліноміального доданку, ортогонального радіальним базисним функціям, оцінки за межами тренувальної множини, як правило, погано виконуються.
Примітки
Подальше читання .
Sirayanone, S., 1988, Comparative studies of kriging, multiquadric-biharmonic, and other methods for solving mineral resource problems, PhD. Dissertation, Dept. of Earth Sciences, Iowa State University, Ames, Iowa.
Див. також Мережа радіальних базисних функцій Метод опорних векторів Машинне навчання