В математиці, абстрактним симпліційним комплексом називається комбінаторний об'єкт, що є абстрактним узагальненням геометричного поняття симпліційний комплекс.
Абстрактний симплекс можна досліджувати алгебричними методами за допомогою кілець Стенлі — Райснера, що визначає важливі зв'язки між комбінаторикою і комутативною алгеброю.
Означення Сім'я непустих скінченних підмножин множини S називається абстрактним симпліційним комплексом якщо для кожної множини у , і кожної непустої підмножини , також належить .
Скінченні множини, що належать називаються (абстрактними) симплексами комплекса. Симплекс називається гранню симплекса якщо . Множиною вершин називається множина , що є об'єднанням усіх симплексів . Елементи множини вершин називаються вершинами комплексу. Для кожної вершини v у , множина {v} є симплексом комплексу, і кожен симплекс комплексу є скінченною підмножиною множини вершин.
Симплекси, що не є гранями інших симплексів називаються максимальними симплексами комплексу. Розмірність симплекса у за означенням є рівною : симплекси, що мають один елемент мають розмірність 0, симплекси з двох елементів мають розмірність 1 і т. д. Розмірністю комплексу називається найбільша розмірність його симплексів або нескінченність, якщо існують симплекси як завгодно великих розмірностей.
Комплекс називається скінченним якщо у ньому є скінченна кількість симплексів або еквівалентно, якщо його множина вершин є скінченною. Комплекс називається локально скінченним, якщо кожна його вершина належить лише скінченній кількості симплексів.
Одновимірні абстрактні симпліційні комплекси є математично еквівалентними простим неорієнтованим графам: множина вершин комплексу може розглядатися як множина вершин графу, а множина одновимірних (тобто двоелементних) симплексів як множина його ребер.
Підкомплексом комплексу називається абстрактний симпліційний комплекс L такий що кожен симплекс L належить також , тобто .
d-кістяк комплексу це підкомплекс , що складається з усіх симплексів розмірність яких не перевищує d. 0-кістяк можна ідентифікувати з його множиною вершин, хоча формально вони не є еквівалентними (множина вершин є єдиною множиною всіх вершин, тоді як 0-кістяк є сім'єю одноелементних множин).
Лінком симплекса у (позначається або ) називається підкомплекс заданий як
Лінком пустої множини є комплекс .
Для будь-якого абстрактного симпліційного комплексу існує комплекс Bd , вершинами якого є симплекси комплексу , а симплексами — сім'ї симплексів з , для яких . Комплекс Bd називається барицентричним розбиттям комплексу .
Для двох абстрактних симпліційних комплексів, і , симпліційним відображенням називається відображення для якого образами вершин є вершини і для кожного симплекса у , образом множини є симплекс у . Існує категорія SCpx об'єктами якої є абстрактні симпліційні комплекс, а морфізмами симпліційні відображення. Вона є еквівалентною до деякої категорії визначеної для неабстрактних симпліційних комплексів. Геометричне представлення Кожному абстрактному симпліційному комплексу K можна поставити у відповідність топологічний простір |K|, що називається його геометричним представленням. Два таких представлення є ізоморфними. Топологічний простір X, що є гомеоморфним геометричному представленню |K| деякого комплексу K називається поліедром, а пара (К, f), де f — гомеоморфізм, називається триангуляцією простору.
Геометричне представлення комплексу K із множиною вершин S можна побудувати у такий спосіб. Нехай |K| підмножина , що складається з усіх функцій які задовольняють дві умови:
Число називається s барицентричною координатою точки t. Розглянемо як індуктивну границю де A пробігає всі скінченні підмножини S і надамо відповідну фінальну топологію, а |K| — породжену топологію. Отриманий топологічний простір буде геометричною реалізацією комплексу |K|.
На просторі |K| можна ввести альтернативну в загальному випадку сильнішу топологію породженою метрикою . Множина |K| з цією топологією позначається |K|d.
Можна задати геометричне представлення і в інших спосіб. Нехай — категорія об'єктами якої є симплекси , а морфізмами включення. Задамо тотальне впорядкування на множині вершин і введемо функтор F з у категорію топологічних просторів. Для цього для кожного симплекса розмірності n, нехай буде стандартним n-симплексом. Порядок на множині вершин визначає бієкцію між елементами і вершинами , впорядкованими у звичний спосіб . Якщо є симплексом розмірності , то бієкція визначає m-вимірну грань у . Нехай є єдиним афінним вкладенням у визначену вище грань симплекса при якому зберігається порядок вершин.
Тоді можна ввести геометричне представлення |K| як категорну кограницю функтора F. А саме |K| є фактор-простором диз'юнктного об'єднання
по відношенню еквівалентності, що ідентифікує точку з її образом при відображенні , для кожного вкладення .
Багато комбінаторних властивостей абстрактного симпліційного комплексу можна виразити через топологічні властивості геометричного представлення комплексу. Зокрема еквівалентними є такі твердження:
Абстрактний симпліційний комплекс K є локально скінченним. Топологічний простір |K| є локально компактним. |K| = |K|d як топологічні простори. Простір |K| є метризовним. Простір |K| задовольняє першій аксіомі зліченності.
Простір |K| є сепарабельним (компактним) тоді і тільки тоді, коли K є не більш ніж зліченним (скінченним).
Представлення скінченних комплексів в евклідових просторах Особливо важливе значення має геометричне представлення для скінченних комплексів. У цьому випадку можливе представлення абстрактного симпліційного комплексу у виді звичайного симпліційного комплексу у евклідовому просторі. А саме, n-вимірний комплекс має представлення як симпліційний комплекс у просторі .
Представлення можна задати у такий спосіб. Нехай множина вершин має m елементів. Позначимо ці вершини . Виберемо m+1 точку у так щоб жодні 2n+2 з них не були лінійно залежними. Наприклад, можна вибрати точки виду Рівняння разом з
утворюють матрицю Вандермонда визначник якої не є рівним нулю. Отже, рівняння має лише нульовий розв'язок і довільні 2n+2 точки є лінійно незалежними.
Нехай тепер точки в відповідають точкам абстрактного комплексу. Відповідно кожному абстрактному симплексу у відповідає симплекс у .
Множина таких симплексів у утворює симпліційний комплекс K, який і є геометричним представленням . З означення відразу випливає, що будь-яка грань симплекса із K є симплексом у K. Із лінійної незалежності точок випливає що симплекси у K можуть перетинатися лише на своїх границях. Нехай тепер — два симплекси у K, що мають розмірності p і q відповідно і r спільних вершин. Тоді загальна кількість точок у якомусь із цих симплексів є рівною .
Отже всі точки є лінійно незалежними і на них можна побудувати симплекс розмірності для якого будуть гранями. Тому їх перетин є або гранню їх обох або порожньою множиною. Отож K дійсно є стандартним симпліційним комплексом у .
Будь-які два геометричні представлення абстрактного симпліційного комплекса є симпліційно гомеоморфними.
Простір має найменшу розмірність для геометричного представлення усіх абстрактних симпліційних комплексів розмірності n. Для простору завжди існує абстрактний симпліційний комплекс розмірності n для якого не існує геометричного представлення у . Наприклад, для n = 1 абстрактний комплекс із п'ятьма вершинами для якого кожна для якого кожна підмножина із двох вершин є симплексом не має геометричного представлення у . Це відбувається тому, що такий же комплекс із чотирма вершинами можна представити лише у виді коли три точки утворюють трикутник, а четверта у його середині (не на сторонах). Тоді п'ята точка мала би бути у середині трьох утворених менших трикутників, що неможливо. Більш загально для довільного n-кістяка абстрактного симплекса розмірності 2n + 2 (симплекса із 2n + 3 вершинами) не існує геоментричного представлення у просторі Edelsbrunner. Geometry and topology for mesh generation. ст. 49 .
В загальному випадку абстрактний симпліційний комплекс має геометричне представлення у скінченновимірному просторі тоді і лише тоді коли він є локально скінченним, не більш ніж зліченним і скінченновимірним.
Кількості абстрактних симпліційних комплексів Кількість скінченних абстрактних симпліційних комплексів із множиною вершин не більше n елементів є на одиницю меншим ніж n-не число Дедекінка. Ці числа зростають дуже швидко і наразі їх значення відомі лише для ; вони є рівними (починаючи з n = 0): 1, 2, 5, 19, 167, 7580, 7828353, 2414682040997, 56130437228687557907787 . Ці кількості рівні кількостям непустих антиланцюгів для множин із елементів.
Кількість абстрактним симпліційних комплексів із множиною вершин к n елементів є рівною "1, 2, 9, 114, 6894, 7785062, 2414627396434, 56130437209370320359966" , починаючи з n = 1.
Див. також Симпліційний комплекс Абстрактний многогранник
Примітки
Література