Теорема про замкнуті підгрупи — твердження у теорії груп Лі про те, що кожна замкнута підгрупа групи Лі є вкладеною підгрупою Лі (тобто вона успадковує свою топологічну і диференційовну структуру із основної групи). У твердженні теореми вимагається лише щоб підгрупа була також замкнутою множиною і на основі лише цього факту доводиться, що дана група також є вкладеним підмноговидом і відповідно вкладеною підгрупою Лі.
Оскільки підгрупа Лі є вкладеною тоді і тільки тоді коли вона є замкнутою то звідси одержується, що (абстрактна) підгрупа є вкладеною підгрупою Лі тоді і тільки тоді коли вона є замкненою підмножиною.
Значення теореми полягає в тому, що вона дає змогу знайти багато прикладів груп Лі і для доведення їх приналежності до цих груп достатньо довести їх замкнутість у деяких підгрупах Лі, що часто є відносно просто. Наприклад спеціальні лінійні групи чи ортогональні групи є замкнутими підгрупами загальних лінійних груп.
Доведення
Нехай G — група Лі, — її алгебра Лі, H — замкнута підгрупа у G.
Розглянемо множину T елементами якої є вектори для яких існують послідовності такі що Очевидно, що і з випливає
Тоді Справді, якщо то в позначеннях вище Нехай — такі числа, що Тоді і Звідси і
Також T є лінійним підпростором Дійсно нехай Позначимо і, для достатньо великих n, Тоді а також і використовуючи формулу добутку Лі: звідки
Нехай і — гладке відображення із із диференціалом у точці (0,0) рівним Даний диференціал є бієкцією, а отже є локальним дифеоморфізмом у точці (0,0). Тому існують відкриті околи початку координат при яких є дифеоморфізмом на відкриту підмножину Якщо для достатньо малих при цьому то це задасть диференційовну структуру в околі одиниці підгрупи H, а тому і на всій групі і H буде вкладеною підгрупою Лі.
Припустимо, що вказане твердження не є вірним. Нехай спадні послідовності околів для яких Згідно припущення для всіх існує елемент такий що
Існують єдині що Тому є послідовністю у що збігається до нуля і Ввівши довільну норму на S і розглянувши послідовність (елементи якої належать компактній одиничній сфері) можна обрати підпослідовність збіжну до деякого елемента X простору S одиничної норми. Без втрати загальності можна вважати такою послідовністю. Але і задовольняють всі умови означення множини T, тому Це неможливо оскільки Тому для деякого k що завершує доведення.
Див. також Група Лі Диференційовний многовид Експонента (теорія груп Лі) Формула добутку Лі
Посилання E.P. van den Ban Lecture Notes on Lie groups