Зірка Годжа — важливий лінійний оператор з простору q-векторів в простір (n—q)-форм. Метричний тензор задає канонічний ізоморфізм між просторами q-форм і q-векторів, тому зазвичай зіркою Годжа називають оператор з простору диференціальних форм розмірності q в простір форм розмірності n-q.
Цей оператор був введений Вільямом Годжем.
Означення Оператор дуальності - оператор на многовиді розмірності у присутності метрики який визначається рівністю
де компонента відмінна від нуля, якщо серед індексів немає повторюваних і тоді якщо та -1, якщо Оператор дуальності задає ізоморфізм простору кососиметричних тензорів типу на простір кососиметричних тензорів типу Іноді оператор дуальності називається оператором Ходжа або *-оператором.
Нехай - дійсний векторний простір. Метрика на індукує метрику на його тензорних просторах Це задає невироджений скалярний добуток на диференціальних формах на римановому многовиді:
Інша невироджена форма задається формулою (зпарювання Пуанкаре).
Нехай - римановий n-вимірний многовид. Оператор Ходжа визначається формулою
У ортонормальному базисі його можна задати на мономах
де - додатковий набір ковекторів, а - сигнатура перестановки
Зауваження:
Допоміжні означення Означимо форму об'єму
де — невід'ємний скаляр на многовиді , а — символ Леві-Чивіти. . Навіть за відсутності метрики, якщо , можна визначити контраваріантні компоненти форми об'єму.
тут антисиметричний символ збігається .
У присутності метрики з піднятими індексами може відрізнятися від на знак: . Тут і далі
Уведемо операцію антисиметризації: . Підсумовування ведеться за всіма перестановками індексів, укладених в квадратні дужки, з урахуванням їх парності . Аналогічно визначається антисимметризація верхніх індексів; антисимметризувати можна тільки за групою індексів одного типу. Приклади: ; .
Примітки
Джерела David Bleecker (1981) Gauge Theory and Variational Principles. Addison-Wesley Publishing. . Chpt. 0 contains a condensed review of non-Riemannian differential geometry. Jurgen Jost (2002) Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer-Verlag. . A detailed exposition starting from basic principles; does not treat the pseudo-Riemannian case. Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler (1970) Gravitation. W.H. Freeman. . A basic review of differential geometry in the special case of four-dimensional spacetime. Steven Rosenberg (1997) The Laplacian on a Riemannian manifold. Cambridge University Press. . An introduction to the heat equation and the Atiyah-Singer theorem. Tevian Dray (1999) The Hodge Dual Operator . A thorough overview of the definition and properties of the Hodge star operator.