Александровська геометрія — своєрідний розвиток аксіоматичного підходу в сучасній геометрії. Ідея полягає в заміні певної рівності в аксіоматиці евклідового простору на нерівність.
Історія Перше синтетичне визначення обмежень на кривину знизу і зверху дав Абрахам Вальд у своїй студентській роботі, написаній під керівництвом . Ця робота була забута аж до 1980-их років.
Подібні визначення були перевідкриті Олександром Даниловичем Александровим. Він також дав перші значні застосування цієї теорії, зокрема до завдань вкладення і згинання поверхонь.
Близьке визначення метричних просторів недодатною кривиною було дане майже одночасно .Busemann, Herbert with Spaces non-positive curvature. Acta Math. 80, (1948). 259—310.
Дослідження Александрова та його учнів велись за двома основним напрямками:
Двовимірні простори з кривиною, обмеженою знизу; Простори довільної розмірності з кривиною обмеженою зверху. є продовженням цієї теорії для дискретних просторів. Воно має значні застосування в теорії груп.
Простори довільної розмірності з кривиною, обмеженою знизу, почали вивчати тільки в кінці 90-х років. Поштовхом до цих досліджень стала теорема Громова про компактність. Основна робота була написана , Михайлом Леонідовичем Громовим і Григорієм Яковичем Перельманом.
Основні визначення Трикутник порівняння для трійки точок метричного простору це трикутник на евклідовій площині з тими ж довжинами сторін; тобто
Кут при вершині у трикутнику порівняння називаються кутом порівняння трійки і позначаються .
В геометрії Александрова розглядаються повні метричні простори з внутрішньої метрикою з однією з двох таких нерівностей на 6 відстаней між 4 довільними точками.
Недодатна кривина Перша нерівність, полягає в такому: для довільних 4 точок розглянемо кілька трикутників порівняння і . Тоді для довільної точки виконується нерівність
У цьому випадку кажуть, що простір задовольняє -нерівності. У разі локального виконання цієї нерівності, кажуть, що простір має недодатну кривину в сенсі Александрова.
Невід'ємна кривина Друга нерівність, полягає в такому: для довільних 4 точок виконується нерівність
У цьому випадку кажуть, що простір задовольняє -нерівності або кажуть, що простір має невід'ємну кривину в сенсі Александрова.
Загальні обмеження на кривину Замість Евклідової площини можна взяти простір — модельну площину кривини . Тобто
є евклідова площина, при є сфера радіуса , при є гіперболічна площина кривини .
Тоді вищенаведені визначення перетворюються на визначення CAT[k] і CBB[k] просторів та просторів з кривиною і у сенсі Александрова У разі , трикутник порівняння трійки вважається визначеним, якщо виконана така нерівність
.
Основні теореми
— важливе технічне твердження про кути порівняння — дозволяє конструювати CAT(k) простору шляхом склеювання CAT(k) просторів за опуклими множинами. — дає зручне еквівалентне визначення CAT(k) просторів. Теорема глобалізації для CAT(k) просторів, є узагальненням теореми Адамара — Картана. Теорема глобалізації для CBB(k) просторів, є узагальненням .
Див. також Синтетична геометрія
Примітки
Література
Лекция 5, Геометрия Александрова Антон Петрунин, Александровская геометрия видео лекции