У абстрактній алгебрі лемою Шаунеля називається твердження про властивості проективних модулів.
Твердження
Нехай є кільцем і послідовності -модулів нижче є точними:
Якщо є проективними модулями то існує ізоморфізм , між прямими сумами модулів.Louis H. Rowen: Ring Theory. Vol 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-12-599841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Proposition 2.8.26
Доведення
У попередніх позначеннях введемо підмодуль:
Відображення π : X → P, де π є проєкцією першої координати X на P, є сюр'єктивним. Оскільки φ' є сюр'єктивним, для будь-якого існує для якого φ(p) = φ '(q). Таким чином одержується елемент для якого π (p,q) = p. Для ядра відображення π маємо:
Тому існує коротка точна послідовність
Оскільки P є проективним модулем, ця послідовність розщеплюється, тобто X ≅ K' ⊕ P . Також можна розглянути інше відображення π : X → P'. Як і вище звідси одержується коротка точна послідовність:
і тому X ≅ P' ⊕ K. Разом із цих двох результатів випливає твердження теореми.
Примітки
Див. також
Проективний модуль
Література