Бімодуль — абелева група, що є одночасно правим модулем і лівим модулем (можливо, над іншим кільцем), причому ці дві структури узгоджуються.
Означення Нехай і — два кільця, тоді -бімодулем називається абелева група , що задовольняє умови: є лівим -модулем і правим -модулем. Для будь-яких
-бімодуль називають також -бімодулем.
Приклади Для будь-яких натуральних чисел і множина всіх матриць розміру з дійсними елементами є -бімодулем, де — кільце матриць розміру і — кільце матриць розміру . Додавання і множення визначаються як додавання і множення матриць, розміри матриць обрані таким чином, щоб ці операції були визначені. Якщо — кільце, не обов'язково комутативне, то є -бімодулем. Також -бімодулем є — прямий добуток копій . Будь-який двосторонній ідеал в кільці є -бімодулем. Будь-який модуль над комутативним кільцем можна наділити природною структурою бімодуля, визначивши множення справа так само, як множення зліва. (Не всі бімодулі над комутативним кільцем мають такий вигляд). Якщо — лівий -модуль, то є -бімодулем, де — кільце цілих чисел. Аналогічним чином, праві -модулі можна розглядати як -бімодулі, а абелеві групи — як -бімодулі. Якщо — підкільце кільця , то є -бімодулем.
Подальші означення і властивості Якщо і — -бімодулі, відображення називається гомоморфізмом бімодулів тоді і тільки тоді, коли воно є гомоморфізмом структур лівого і правого модулів.
-бімодуль, насправді, те ж саме, що лівий модуль над кільцем , де — протилежне кільце до (порядок множення в ньому обертається). Гомоморфізми бімодулів — те ж саме, що гомоморфізм лівих -модулів. Використовуючи ці факти, багато тверджень про модулях можна перевести на мову бімодулів. Зокрема, категорія -бімодулів є абелевою і для неї виконуються звичайні теореми про ізоморфізм.
Однак у бімодулів є і особливі властивості, зокрема, в тому, що стосується тензорного добутку. Якщо — -бімодуль і — (S, T)-бімодуль, то їх тензорний добуток (як модулів над ) є -бімодулем. Тензорний добуток бімодулів є асоціативним (з точністю до канонічного ізоморфізму), тому можна побудувати категорію, об'єкти якої — кільця, а морфізми — бімодулі. Більш того, якщо є -бімодулем і є -бімодулем, то множина гомоморфізмів з в має структуру -бімодуля. Ці твердження можна поширити на похідні функтори Ext і Tor.
Див. також Модуль над кільцем
Література
P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics) — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-82184-781-3. P. 517—518. Jacobson, N. (1989). Basic Algebra II. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-1933-9. P. 133—136.