В геометрії стільник — це заповнення простору многогранниками, що не перетинаються, при якому не залишається незаповненого простору. Це узагальнення математичного поняття мозаїка або паркет на будь-яку розмірність.
Стільники зазвичай розглядаються у звичайному евклідовому (плоскому) просторі. Їх можна також побудувати в неевклідових просторах, наприклад, гіперболічний стільник. Будь-який скінченний однорідний многогранник можна спроєктувати на його описану сферу, що дасть однорідний стільник у сферичному просторі.
Класифікація Існує нескінченно багато стільників і вони можуть бути класифіковані лише частково. Найбільш правильні мозаїки отримують найбільший інтерес, хоча багатий і широкий набір інших мозаїк відкривається знову і знову.
Найпростіші стільники формуються з шарів призм, побудованих з паркетів на площині. Зокрема, копії будь-якого паралелепіпеда можуть заповнити простір, при цьому є спеціальним випадком, оскільки тільки він утворює правильний стільник у звичайному (евклідовому) просторі. Іншим цікавим прикладом є і його узагальнення, які також утворюють мозаїку в просторі.
Однорідний тривимірний стільник Тривимірний однорідний стільник — це стільник у тривимірному просторі, складений з однорідних многогранників, що мають однакові вершини (тобто група ізометрій тривимірного простору, що зберігає мозаїку, є транзитивною на вершинах). Існує 28 прикладів опуклих мозаїк у тривимірному евклідовому просторі, званих також .
Стільник називають правильним, якщо група ізометрій, що зберігає мозаїку, діє транзитивно на прапори, де прапор — це вершина, яка лежить на ребрі, яке належить грані (всі разом). Будь-який правильний стільник є автоматично однорідним. Однак існує всього один вид правильних стільників у тривимірному евклідовому просторі — кубічний стільник. Двоє стільників є квазіправильними (зробленими з двох типів правильних комірок): ТипКубічний стільникКвазіправильний стільникКоміркиКубічніОктаедричні і тетраедричніШар і повернутий тетраедрично-октаедричний стільник складаються з шарів, утворених 3-ма або 2-ма положеннями тетраедрів і октаедрів. Нескінченне число унікальних стільників можна отримати шляхом різного чергування цих шарів.
Многогранники, що заповнюють простір Про тривимірний стільник, всі комірки якого ідентичні, включно з симетрією, кажуть як про комірково-транзитивний або ізохорний. Про комірку такого стільника кажуть як про многогранник, що заповнює простір.
Тільки п'ять многогранників, що заповнюють простір, можуть заповнити 3-мірний евклідів простір з використанням тільки паралельного перенесення. Їх називають :
Кубічний стільник (або варіації: прямокутний паралелепіпед, ромбічний шестигранник або паралелепіпед); Однорідні призми на основі трикутника, квадрата і шестикутника, що заповнюють простір; Ромбододекаедричний стільник; Однорідні ромбо-шестикутні додекаедри, що заповнюють простір; Однорідні зрізані октаедри, що заповнюють простір.
Кубічний стільникШестикутний призматичний стільникРомбододекаедричний стільникПодовжений ромбододекаедричний стільникСтільник з глибокозрізаних кубівКуб(паралелепіпед)Шестикутна призмаРомбододекаедрПодовжений додекаедр[en]Зрізаний октаедр3 довжини ребер3+1 довжини ребер4 довжини ребер4+1 довжин ребер6 довжин ребер Інші відомі приклади:
. Однорідний повернутий трикутний призматичний стільник . Комірки мозаїки Вороного атомів вуглецю в алмазі мають такий виглядVoronoi Polyhedron. . Прості ізоедричні мозаїки.
Інші стільники з двома і більше многогранниками Іноді два Gabbrielli, Ruggero. A thirteen-sided polyhedron which fills space with its chiral copy. і більше різних многогранники можна скомбінувати, щоб заповнити простір. Добре відомим прикладом слугує структура Вейра — Фелана, запозичена зі структури кристалів клатратного гідрату .
Структура Вейра — -Фелана (з двома типами комірок)
Неопуклі тривимірні стільники
Неопуклі комірки, впаковані без накладання, аналогічно мозаїкам з увігнутих багатокутників. Вони включають малих зірчастих ромбічних додекаедрів, як в . Мозаїки з накладенням комірок, за якого додатні і від'ємні щільності «знищуються» з утворенням однорідного за щільністю континууму, аналогічно мозаїкам з накладенням на площині.
Гіперболічні стільники У тривимірному гіперболічному просторі двогранний кут многогранника залежить від розміру многогранника. Правильні гіперболічні стільники включають два види з чотирма або п'ятьма додекаедрами, які мають спільні ребра. Їхні двогранні кути тоді будуть π/2 2π/5, обидва менші, ніж у евклідового додекаедра. За винятком цього ефекту гіперболічні стільники відповідають тим самим вимогам, що й евклідові стільники і многогранники.
Досліджено 4 види компактних і багато .
Двоїстість стільників у тривимірному просторі Для будь-якого стільника є двоїсті стільники, які можуть бути отримані обміном:
комірок на вершини; граней на ребра.
Для правильних стільників:
Кубічний стільник самодвоїстий. Стільники, що складаються з октаэдрів і тетраедрів, двоїсті стільникам з ромбічних додекаедрів. Шаруваті стільники, отримані з однорідних плоских мозаїк, двоїсті таким самим, отриманим з двоїстих мозаїк. Двоїсті стільники до інших архімедових стільників є комірко-транзитивними і описані в статті Інчбальда.
Самодвоїсті стільники Стільники можуть бути . Всі n-вимірні з символами Шлефлі {4,3n-2,4} самодвоїсті.
Див. також
Примітки
Література
Посилання Glossary For Hyperspace Five space-filling polyhedra, Guy Inchbald The Archimedean honeycomb duals, Guy Inchbald, The Mathematical Gazette 80, November 1996, p.p. 466—475. Raumfueller (Space filling polyhedra) by T.E. Dorozinski