Радикальна ознака Коші — ознака збіжності числового ряду:
Якщо для числового ряду
з невід'ємними членами існує таке число , , що, починаючи з деякого номера, виконується нерівність то даний ряд збіжний.
Дана ознака була вперше розглянута французьким математиком Огюстеном-Луї Коші, який опублікував доведення у своєму підручнику Cours d'analyse (1821).
В англомовній літературі дану ознаку частіше називають просто "Root test", опускаючі ім'я автора.
Гранична форма Умова радикальної ознаки рівносильна наступному :
Тобто можна сформулювати радикальну ознаку збіжності знакододатного ряду в граничній формі:
Якщо для ряду , то якщо ряд збігається, якщо ряд розбігається.
Доведення 1. Нехай . Очевидно, що існує таке , що . Оскільки існує границя , то підставивши в означення границі вибране одержимо:
Розкривши модуль, одержимо:
Оскільки , то ряд збігається. Тоді за ознакою порівняння ряд теж збігається.
2. Нехай . Очевидно, що існує таке , що . Оскільки існує границя , то підставивши в означення границі вибране одержимо:
Розкривши модуль, одержимо:
Оскільки , то ряд розбіжний. Тоді за ознакою порівняння ряд теж розбіжний.
Приклади 1. Ряд
збіжний, оскільки виконується умова граничної форми радикальної ознаки
2. Розглянемо ряд
ряд збіжний
Див. також Ознака д'Аламбера
Література
Примітки