Факторіон — натуральне число, яке дорівнює сумі факторіалів своїх цифр.
Повний список факторіонів
Верхня межа Визначивши верхню межу для факторіонів, нескладно (наприклад, повним перебором) показати, що існує рівно 4 таких числа.
Будь-яке n-значне число не менше від. Однак при цьому сума факторіалів його цифр не більша від , де . Оскільки перше число зростає швидше, ніж друге (перше залежить від n експоненціально, а друге — лінійно), а вже . Отже всі факторіони складаються не більше, ніж з 7 цифр. Навіть точніше — вони менші від .
Аналогічні міркування допомагають довести скінченність числа багатьох узагальнених факторіонів (див. нижче).
Узагальнення
В інших системах числення Таблиця факторіонів у системах числення до шістнадцяткової: Основа Максимальна кількість цифр Факторіони 2 2 1, 10 3 2 1, 2 4 3 1, 2, 13 5 3 1, 2, 144 6 4 1, 2, 41, 42 7 5 1, 2 8 5 1, 2 9 6 1, 2, 62558 10 7 1, 2, 145, 40585 11 8 1, 2, 24, 44, 28453 12 8 1, 2 13 9 1, 2, 83790C5B 14 10 1, 2, 8B0DD409C 15 11 1, 2, 661, 662 16 11 1, 2, 260F3B66BF9+
k-факторіони k-факторіон — число, що дорівнює сумі факторіалів своїх цифр, помноженій на k. Тоді звичайні є 1-факторіонами.
Повні списки k-факторіонів:
k = 2: 817926 k = 3: 138267, 1103790 k = 4: 12, 32, 104, 23076 k = 5: 10
Узагальнення Піковера В своїй книзі «Keys to Infinity» Кліфорд Піковер () (1995) запропонував такі узагальнення:
Факторіон першого роду — дорівнює добутку факторіалів своїх цифр. Факторіон другого роду — при додаванні факторіалів число можна розбивати не тільки на цифри, а й на підчисла.
Обидва визначення породжують значно більші числа, ніж звичайне визначення. Хоча факторіони першого роду в десятковій системі тільки вироджені — 1 і 2, знайдено кілька факторіонів другого роду (жирним виділені єдині угруповання цифр):
2 432 902 008 177 819 519 51 090 942 171 710 544 079 і 51 090 942 171 710 982 398 403 291 461 126 605 635 584 809 043 і 403 291 461 126 605 635 584 814 796
Для узагальнень обох типів невідомо, чи скінченне число відповідних факторіонів.
Література Gardner, M. «Factorial Oddities.» Ch. 4 in Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-of-Mind from Scientific American. New York: Vintage, pp. 61 and 64, 1978. Madachy, J. S. Madachy's Mathematical Recreations. New York: Dover, p. 167, 1979. Pickover, C. A. «The Loneliness of the Factorions.» Ch. 22 in Keys to Infinity. New York: W. H. Freeman, pp. 169–171 and 319—320, 1995.
Посилання