Розмах () — в статистиці різниця між найбільшим та найменшим із сукупності числових значень.

Розмах є однією з найпростіших мір розсіяння (розкиду) набору числових значень. Дає інформацію про ширину інтервалу, в якому зосереджений весь набір числових даних, геометрично — ширина відрізка, в якому розташовуються всі значення.

Простота розрахунку, наочність та інтуїтивна зрозумілість цієї характеристики розсіяння значень є очевидною перевагою перед такими мірами розсіяння як дисперсія та середнє квадратичне відхилення (стандартне відхилення). Істотним недоліком розмаху є те, що він не містить інформацію про характер розподілу результатів в інтервалі розсіяння та не стійкий до викидів, що певною мірою обмежує його використання.

Математичний опис Математично розмах вибірки

,

де - відповідно максимальне та мінімальне значення із вибірки.

Розподіл ймовірностей Оскільки розмах розраховується через крайні значення вибірки, які є випадковими величинами, він, як і будь-яка інша статистична характеристика, є випадковою величиною. Нехай  — ряд значень вибірки з функцією розподілу та щільністю ймовірностей . В цьому випадку розмах описується функцією розподілу: .

Розмах та середнє квадратичне відхилення Якщо значення вибірки розподілені за нормальним законом, то математичне сподівання розмаху

,

де  — середнє квадратичне відхилення,

 — деяка функція обсягу вибірки , яка табульована.

Таблиця. Граничні значення коефіцієнту в залежності від обсягу вибірки для ймовірності 0,95. 2345678910 2,77 3,31 3,63 3,86 4,03 4,17 4,294,394,47

Отже, , що демонструє незміщеність оцінки . За невеликих значень () ця оцінка параметра має значну ефективність, однак за великих вона мало ефективна в порівнянні зі статистичною оцінкою середнього квадратичного відхилення ().

Практичне значення Залежність використовується для отримання незміщеної оцінки середнього квадратичного відхилення у випадку малих вибірок в метрології, під час статистичного контролю якості на виробництві, статистичного керування процесами тощо.

Під час контролю технологічних процесів та контролю стабільності процесів вимірювання в лабораторіях широко використовуються як один із найекономічніших типів контрольних карт Шухарта контрольні карти розмахів.

Завдяки простоті розрахунку, наочності та зрозумілості розмах як міра розсіяння також широко використовується в описовій статистиці.

Див. також

Розмах показів Медіана абсолютних відхилень

Джерела

Примітки