Гіпотеза Бібербаха(після доведення також використовується назва теорема де Бранжа) — доведене припущення, висловлене в 1916 році німецьким вченим Людвігом Бібербахом щодо верхньої межі коефіцієнтів розкладу однолистих функцій у ряд Тейлора.
Позначимо — відкритий одиничний круг комплексної площини: .
Нехай — множина всіх голоморфних і однолистих в функцій , що мають розклад у ряд Тейлора в околі нуля виду:
За гіпотезою коефіцієнти і додатково тільки для узагальнених функцій Кебе виду
Історія доведення гіпотези 1916 рік — висловлена гіпотеза. Бібербах довів справедливість гіпотези при . 1923 рік — доведена гіпотеза для . Автор доведення — Чарльз Левнер, для доведення був створений параметричний метод Левнера. 1955 рік — доведення для . Автори — Пол Гарабедян і Менахем Макс Шифер. Метод, використаний при доведенні, був названий методом Шифера. 1968 1969 роки — дві незалежні роботи з підтвердженням гіпотези для — Роджер Педерсон і Міцуру Одзава. 1972 рік — доведена гіпотеза для — Педерсон, Шифер.
1925 рік — Джон Ідензор Літлвуд доводить, що для будь-якого . 1936 рік — американський математик Малкольм Робертсон припустив, що для непарних функцій розклад яких у ряд Тейлора, відповідно має вид:
і для всіх натуральних чисел n, виконується нерівність
Дане припущення називається гіпотезою Робертсона. Робертсон довів, що із гіпотези Робертсона випливає гіпотеза Бібербаха. 1951 рік — Іван Базилевич і Ісаак Мілін довели співвідношення . 1965 рік — Мілін: . 1971 рік — Мілін припустив, що для функцій для всіх натуральних чисел n, виконується нерівність,
де логарифмічні коефіцієнти γn для f одержуються із формули:
Мілін довін, що із цього припущення (гіпотези Міліна) випливає гіпотеза Робертсона, а тому і гіпотеза Бібербаха. 1972 рік — Карл Фітцджеральд: . 1984 року — французький математик Луї де Бранж довів гіпотезу Міліна і відповідно гіпотези Робертсона і Бібербаха. Доведення де Бранжа було досить довгим. Воно зокрема використовувало нерівності щодо многочленів Якобі, які були доведені Аскі і Гаспером. Надалі простіші доведення гіпотези Бібербаха дали Фітцджеральд і Поммеренке у 1985 році, Кореваар у 1986 році і Вейнштейн у 1991 році.
Література
. .
Koepf W. Bieberbach's conjecture, the de Branges and Weinstein functions and the Askey-Gasper inequality // The Ramanujan Journal, June 2007, Volume 13, Issue 1-3, pp 103—129. https://doi.org/10.1007/s11139-006-0244-2