Теорема Лебега про щільність — результат теорії міри, який інтуїтивно можна розуміти так, що множина «граничних точок» вимірної множини має міру нуль.
Твердження Позначимо через міру Лебега на евклідовому просторі . Нехай — вимірна множина. Для довільної точки і розглянемо значення
,
де позначає кулю з центром в і радіусом . Величину можна інтерпретувати як приблизна щільність множини в точці .
тоді
існує і дорівнює 1 для майже кожної точки .
Зауваження
Величина , якщо визначена, називається щільністю множини в точці . Інакше кажучи, теорема стверджує, що щільність будь-якої вимірної множини приймає значення 0 або 1 майже всюди в . Якщо множина і її доповнення мають додатну міру, то завжди знайдуться точки із щільністю не рівною 0 і 1.
Приклади Наприклад, дано квадрат в площині, щільність в кожній точці всередині квадрата дорівнює 1, на сторонах 1/2, в вершинах по 1/4, і 0 поза квадрата; сторони і вершини квадрата є множинами міри нуль.
Варіації і узагальнення
Теорема про щільність є окремим випадком теореми Лебега про диференціювання.
Див. також Теорема Лебега про диференціювання
Література