В геометрії архімедове тіло (архімедів многогранник) — це високо симетричний напівправильний опуклий многогранник, гранями якого є два або більше типів правильних многокутників, що примикають до ідентичних вершин. Вони відрізняються від платонових тіл (правильних многогранників), які складаються тільки з одного типу многокутників в однакових вершинах, і від многогранників Джонсона, правильні многокутні грані яких належать різним типам вершин.

Тут поняття «ідентичні вершини» означає, що для будь-яких двох вершин існує ізометрія всього тіла, яка переводить одну вершину в іншу. Іноді тільки потрібно, щоб грані, прилеглі до однієї вершини, були ізометричними граням при іншій вершині. Ця різниця в термінах визначає, вважається (псевдоромбокубооктаедр) архімедовим тілом чи многогранником Джонсона — це єдиний опуклий многогранник, в якому многокутні межі примикають до вершини однаковим способом у кожній вершині, але многогранник не має глобальної симетрії, яка б переводила будь-яку вершину в будь-яку іншу. Ґрунтуючись на існуванні псевдоромбокубооктаедра, Ґрюнбаум запропонував термінологічну відмінність, у якій архімедове тіло визначається як таке, що має одну і ту ж вершинну фігуру в кожній вершині (включно з подовженим квадратним гіробікуполом), тоді як однорідний многогранник визначається як тіло, у якого будь-яка вершина симетрична будь-який інший (що виключає ).

Призми і антипризми, групами симетрій яких є діедричні групи, як правило, не вважаються архімедовим тілами, незважаючи на те, що вони підпадають під визначення, дане вище. З цим обмеженням існує тільки скінченне число архімедових тіл. Всі тіла, крім подовженого квадратного гіробікупола, можна отримати побудовами Вітгоффа з платонових тіл за допомогою тетраедричної, і ікосаедричної симетрій.

Походження назви Архімедові тіла отримали назву на честь Архімеда, який обговорював їх у нині втраченій роботі. Папп посилається на цю роботу і стверджує, що Архімед перелічив 13 многогранників. За часів Відродження художники і математики цінували чисті форми і перевідкрити їх усі. Ці дослідження були майже повністю закінчені близько 1620 року Йоганном Кеплером, який визначив поняття призм, антипризм і неопуклих тіл, відомих як тіла Кеплера - Пуансо.

Кеплер, можливо, знайшов також подовжений квадратний гіробікупол (псевдоромбоікосаедр) — щонайменше, він стверджував, що є 14 архімедових тіл. Однак його опубліковані переліки включають тільки 13 однорідних многогранників, і перше ясне твердження про існування псевдоромбоікосаедра зробив 1905 року Дункан Соммервіль.

Класифікація Існує 13 архімедових тіл (не рахуючи подовженого квадратного гіробікупола; 15, якщо враховувати дзеркальні відображення двох енантіоморфів, які нижче перелічені окремо).

Тут вершинна конфігурація відноситься до типів правильних многокутників, які примикають до вершини. Наприклад, вершинна конфігурація (4,6,8) означає, що квадрат, шестикутник і восьмикутник зустрічаються у вершині (порядок переліку береться за годинниковою стрілкою відносно вершини). Назва(альтернативна назва)ШлефліКоксетерПрозорийНепрозорийРозгорткаВершиннафігураГранейРеберВершинОб'єм(за одинич-ного ребра)ГрупаточокЗрізаний тетраедр{3,3}(Обертання)3.6.684 трикутники4 шестикутники18122.710576TdКубооктаедр(ромботетраедр)r{4,3} або rr{3,3} або (Обертання)3.4.3.4148 трикутників6 квадратів24122.357023OhЗрізаний кубt{4,3}(Обертання)3.8.8148 трикутників6 восьмикутників362413.599663OhЗрізаний октаедр(зрізаний тетратераедр)t{3,4} або tr{3,3} або (Обертання)4.6.6146 квадратів8 шестикутників362411.313709OhРомбокубооктаедр(малий ромбокубооктаедр)rr{4,3}(Обертання)3.4.4.4268 трикутників18 квадратів48248.714045OhЗрізаний кубооктаедр(великий ромбокубооктаедр)tr{4,3}(Обертання)4.6.82612 квадратів8 шестикутників6 восьмикутників724841.798990OhКирпатий куб(кирпатий кубоктаедр)sr{4,3}(Обертання)3.3.3.3.43832 трикутники6 квадратів60247.889295OІкосододекаедрr{5,3}(Обертання)3.5.3.53220 трикутників12 п'ятикутників603013.835526IhЗрізаний додекаедрt{5,3}(Обертання)3.10.103220 трикутників12 десятикутників906085.039665IhЗрізаний ікосаедрt{3,5}(Обертання)5.6.63212 п'ятикутників20 шестикутників906055.287731IhРомбоікосододекаедр(малий ромбоікосододекаедр)rr{5,3}(Обертання)3.4.5.46220 трикутників30 квадратів12 п'ятикутників1206041.615324IhРомбозрізаний ікосододекаедрtr{5,3}(Обертання)4.6.106230 квадратів20 шестикутників12 десятикутників180120206.803399IhКирпатий додекаедр(кирпатий ікосододекаедр)sr{5,3}(Обертання)3.3.3.3.59280 трикутників12 п'ятикутників1506037.616650I Деякі визначення напівправильних многогранників включають ще одне тіло — подовжений квадратний гіробікупол або «псевдоромбокубооктаедр».

Властивості Число вершин дорівнює відношенню 720° до кутового дефекту при вершині.

Кубоктаедр і ікосододекаедр є реберно-однорідними і називаються .

Дуальні многогранники архімедових тіл називаються каталановими тілами. Разом з біпірамідами і трапецоедрами вони є гране-однорідними тілами з правильними вершинами.

Хіральність Кирпатий куб і кирпатий додекаедр хіральні, оскільки вони з'являються в лівосторонньому і правосторонньому варіантах. Якщо щось має кілька видів, які є тривимірним дзеркальним відображенням один одного, ці форми називають енантіоморфами (ця назва застосовується також для деяких форм хімічних сполук).

Побудова архімедових тіл

Різні архімедові і платонові тіла можуть бути отримані одне з одного за допомогою декількох операцій. Починаючи з платонових тіл, можна використовувати операцію зрізання кутів. Для збереження симетрії зрізання виконується площиною, перпендикулярною до прямої, що з'єднує кут з центром многокутника. Залежно від того, наскільки глибоко виконується зрізання (див. таблицю нижче), отримаємо різні платонові і архімедові (й інші) тіла. або здійснюється шляхом руху граней у напрямку від центра (на однакову відстань, щоб зберегти симетрію) і створенням, потім, опуклої оболонки. Розширення з поворотом здійснюється також обертанням граней, це ламає прямокутники, що виникають на місцях ребер, на трикутники. Остання побудова, яке ми тут розглянемо, це зрізання як кутів, так і ребер. Якщо нехтувати масштабування, розширення можна також розглядати як зрізання кутів і ребер, але з певним відношенням між зрізаннями кутів і ребер. +Побудова архімедових тілСиметріяТетраедрична Ікосаедрична Початкове тілоОпераціяСимвол{p, q}Тетраедр{3,3}Куб{4,3}Октаедр{3,4}Додекаедр{5,3}Ікосаедр{3,5}Зрізання (t)t{p, q}Зрізаний тетраедрЗрізаний кубЗрізаний октаедрЗрізаний додекаедрЗрізаний ікосаедрПовне зрізання (r)Амвон (a)r{p, q}ТетратетраедрКубооктаедрІкосододекаедр (2t)(dk)2t{p, q}Зрізаний тетраедрЗрізаний октаедрЗрізаний кубЗрізаний ікосаедрЗрізаний додекаедрПодвійне повне зрізання (2r)Двоїстий (d)2r{p, q}ТетраедрОктаедрКубІкосаедрДодекаедрСкошування (rr)Розширення (e)rr{p, q}КубооктаедрРомбокубооктаедрРомбоікосододекаедр Кирпате спрямлення (sr) (s)sr{p, q}Кирпатий тетратетраедрКирпатий кубКирпатий ікосододекаедр (tr)Скошування (b)tr{p, q}Зрізаний октаедрЗрізаний кубооктаедрРомбозрізаний ікосододекаедр Зауважимо двоїстість між кубом і октаедром і між додекаедром і ікосаедром. Також, частково внаслідок самодвоїстості тетраедра, тільки одне архімедове тіло має тільки одну тетраедричну симетрію.

Див. також Аперіодична мозаїка Архімедів граф Однорідний многогранник Тороїдальний многогранник Квазікристал Напівправильний многогранник Правильний многогранник

Примітки

Література

. Перепечатано в

Chapter 2

(Section 3-9)

Посилання

Archimedean Solids by Eric W. Weisstein, Wolfram Demonstrations Project . Paper models of Archimedean Solids and Catalan Solids Free paper models (nets) of Archimedean solids The Uniform Polyhedra by Dr. R. Mäder Virtual Reality Polyhedra , The Encyclopedia of Polyhedra by George W. Hart Penultimate Modular Origami by James S. Plank Interactive 3D polyhedra на Java Solid Body Viewer Інтерактивний перегляд 3D-многогранників, який дозволяє зберегти модель у форматі svg, stl або obj. Stella: Polyhedron Navigator : Програмне забезпечення для створення зображень, багато з яких є на цій сторінці. Paper Models of Archimedean (and other) Polyhedra