Польський простір — топологічний простір, гомеоморфний повному метричному простору із зліченною щільною підмножиною.
Приклади Дійсна пряма і будь-яка її відкрита або замкнута підмножина Довільний евклідів простір Сепарабельні банахові простори Довільний компактний метризовний простір є польським простором. Зокрема це стосується компактного гаусдорфового простору зі зліченною базою Множина Кантора Куб Гільберта де позначає одиничний інтервал Простір (простір послідовностей натуральних чисел із топологією добутку) Простір ірраціональних чисел із індукованою топологією дійсної прямої є польським простором, оскільки ірраціональні числа є Gδ-підмножиною дійсних чисел. Натомість з теореми Бера про категорії випливає, що простір раціональних чисел не є польським простором Простір Урисона
Властивості
Замкнуті відкриті підмножини польського простору є польськими просторами.
Оскільки польський простір є сепарабельним і на ньому можна ввести метрику, то і будь-який його підпростір із індукованою топологією є сепарабельним. Дійсно сепарабельний метричний простір задовольняє другу аксіому зліченності (множина куль у цій метриці із центрами у зліченній щільній підмножині і раціональними радіусами утворює зліченну базу топології). Тоді перетини елементів зліченної бази із підпростором утворює зліченну базу підпростору. Обравши точку в кожному елементі зліченної бази отримуємо зліченну щільну підмножину. Залишається довести, що на відкритих і замкнутих підмножинах польського простору можна ввести повну метрику. Якщо розглянути деяку повну метрику на польському просторі, то її обмеження на замкнуту підмножину буде повною метрикою. Тому ця множина є польським простором. Для відкритої підмножини U топологічного простору X позначимо доповнення цієї множини і для точки також позначимо Можна ввести метрику на U:
Ця метрика породжує топологію на U індуковану від X. Дійсно згідно нерівності трикутника і тому функція є неперервною. Тому послідовність збігається до x у метриці d тоді і тільки тоді, коли вона збігається до x у метриці Тому метрика породжує індуковану топологію на U. Для доведення повноти метрики, нехай є фундаментальною послідовністю для Тоді вона також є фундаментальною для d і тому збігається до точки Точка x належить U в іншому випадку було б і звідси що суперечить фундаментальності для Як наслідок збігається до x у метриці що завершує доведення повноти цієї метрики. Диз'юнктне об'єднання скінченної чи зліченної кількості польських просторів є польським простором. Нехай позначають відповідні польські простори, — їх щільні зліченні підмножини, а — деякі повні метрики на просторах. Можна припустити, що для всіх цих метрик (в іншому випадку можна розглянути повні метрики що породжують ті ж топології). Диз'юнктне об'єднання є зліченною множиною, що є цільною у диз'юнктному об'єднанні польських просторів. Метрика задана як якщо належать одному і в іншому випадку, є повною метрикою на диз'юнктному об'єднанні , що завершує доведення Будь-яка G-дельта-підмножина польського простору є польським простором. Нехай де є відкритими підмножинами польського простору Тоді всі і їх добуток є польськими просторами. Перетин діагоналі із підпростором є замкнутою підмножиною у , а тому польським простором. До того ж є гомеоморфним через відображення, що зіставляє елементу послідовність у всі члени якої є рівними Навпаки, якщо підмножина польського простору є польським простором, то вона є G-дельта-множиною. Топологічний простір є польським простором тоді і тільки тоді коли він є гомеоморфним G-дельта-підмножині кубу Гільберта Прямий добуток зліченної кількості польських просторів є польським простором. Нехай позначають відповідні польські простори, а — деякі повні метрики на просторах для яких Якщо — точки добутку просторів із координатами і відповідно, то є метрикою, що породжує топологію добутку і добуток просторів є повним метричним простором із цією метрикою. Для доведення сепарабельності спершу слід зазначити, що як і вище всі задовольняють другу аксіому зліченності і тому можна обрати зліченну бази топології для всіх Тоді множини виду де N є натуральним числом і всі утворюють базу добутку. Тобто добуток топологій задовольняє другу аксіому зліченності і тому є сепарабельним простором. Довільна скінченна борелівська міра на польському просторі є регулярною. Між будь-якими двома незліченними польськими просторами існує борелівська бієкція, тобто бієкція, яка переводить борелівські множини в борелівські. Зокрема, кожен незліченний польський простір має потужність континууму. Теорема Кантора — Бендіксона: будь-яка замкнута підмножина в польському просторі є диз'юнктним об'єднанням досконалої підмножини, зліченної і відкритої підмножин.
Література