Площина́ — одне з основних понять геометрії. У систематичному викладенні геометрії поняття площини зазвичай сприймають як первісне, яке лише опосередковано визначається аксіомами геометрії. Рівняння площини вперше трапляється в А. К. Клеро (1731), рівняння площини у відрізках, вочевидь, вперше трапяється в Ламе (1816—1818), нормальне рівняння увів (1861).
Деякі характерні властивості площини
Площина — поверхня, яка повністю містить кожну пряму, що сполучає її довільні точки; Площина — множина точок, рівновіддалених від двох заданих.
Площини в тривимірному Евклідовому просторі
Визначення на основі точок і прямих, що належать площині В Евклідовому просторі будь-якої вимірності площина зазвичай визначається за допомогою: Трьох не-колінеарних точок (точки не розташовані на одній прямій). Прямою і точкою, що не належить цій прямій. Двома різними прямими, що перетинаються. Двома паралельними прямими.
Властивості Наступні твердження справедливі для тривимірного Евклідового простору, але не для більших розмірностей, хоча вони мають аналогії за вищих розмірностей:
Дві різні площини є або паралельними, або перетинаються по прямій. Пряма може бути або паралельною до площини, або перетинає її в єдиній точці, або вона розташована на площині. Дві різні прямі, перпендикулярні до однієї площини, є паралельними одна до одної. Дві різні площини, перпендикулярні до одної прямої, є паралельними одна до одної.
Рівняння площини Площина — алгебрична поверхня першого порядку: в декартовій системі координат площина може бути задана рівнянням першого степеня.
Загальне (повне) рівняння площини
де та — сталі, при чому і не всі рівні нулю; у векторній формі:
де — радіус-вектор точки , вектор перпендикулярний до площини (нормальний вектор). Напрямні косинуси вектора :
Якщо один з коефіцієнтів в рівнянні площини дорівнює нулю, то рівняння називають неповним. За умови площина проходить через початок координат, за (або , ) площина паралельна осі (відповідно чи ). За ( чи ) площина паралельна площині (відповідно чи ).
Рівняння площини у відрізках:
де — відрізки, які площина відсікає на осях і .
Рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до вектора :
у векторній формі:
Рівняння площини, що проходить через три задані точки , які не лежать на одній прямій:
(мішаний добуток векторів), іншими словами
Нормальне (нормоване) рівняння площини
у векторній формі:
де — одиничний вектор, — відстань від площини до початку координат. Рівняння(2) можна отримати з рівняння (1), помноживши його на нормуючий множник
(знаки і протилежні).
Пов'язані поняття Відхилення точки від площини
, якщо і початок координат лежать по різні сторони площини, в протилежному випадку . Відстань від точки до площини дорівнює
Кут між площинами. Якщо рівняння площини задані у вигляді (1), то
Якщо у векторній формі, то
Площини паралельні, якщо
чи
Площини перпендикулярні, якщо
чи .
Пучок площин — рівняння довільної площини, що проходить через лінію перетину двох площин
де і — довільні числа, які не одночасно дорівнюють нулю.
Література Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия М.: ФИЗМАТЛИТ / 2002 р., 240с. Посилання