Поліноми Ґеґенбауера або ультрасфери́чні поліноми — поліноми, ортогональні на відрізку [−1,1] з вагою і є узагальненням поліномів Лежандра і Чебишева. Їх можна явно записати у вигляді суми
де — гамма-функція, позначає цілу частину числа , а — символ Похгаммера.
Щоб вагова функція була дійснозначною та інтегровною часто накладають обмеження , хоча більшість формальних співвідношень залишаються справедливими для довільного .
Згідно наведено вище означення і часто у випадку функцію перевизначають окремо (див. розділ «Зв'язок з іншими функціями»).
Поліноми Ґеґенбауера є частковим випадком поліномів Якобі. Вперше введені у 1875 році в докторській дисертації австрійського математика Леопольда Ґеґенбауера (1849—1903) та були пізніше названі на його честь. Варто відзначити, що після захисту дисертації протягом наступних трьох років Л. Ґеґенбауер працював професором математики в Чернівецькому університеті, на той час — Університеті Франца-Йосифа ().
Приклади
Перші шість поліномів Ґеґенбауера:
Значення в деяких точках
Мають місце такі співвідношення:
при , при
при
Властивості Функція є поліномом степеня відносно та і визначена для довільних . Як і всі ортогональні поліноми функція , , має тільки прості нулі, які всі лежать на відрізку . Нулі розташовані симетрично відносно початку координат. Нулі поліномів та чергуються.
Позначимо через нулі многочлена розташовані у порядку спадання:
Нулі розташовані симетрично . Для нулів на інтеравалі [0,1] введемо позначення
Тоді мають місце оцінки:
Поліном містить члени лише тієї ж парності, що й саме число :
Зв'язок з іншими функціями Поліноми Лежандра є частковим випадком поліномів Ґеґенбауера при :
У загальному випадку поліноми Ґеґенбауера півцілого верхнього індексу можна виразити через поліноми Лежандра:
де — символ Кронекера, або через похідну від полінома Лежандра:
Приєднана функція Лежандра першого роду також може бути виражена через поліноми Ґеґенбауера:
Поліноми Чебишева першого роду є частковим випадком поліномів Ґеґенбауера при :
Це співвідношення беруть за означення полінома Ґеґенбауера індекса , тобто .
Поліноми Чебишева другого роду є частковим випадком поліномів Ґеґенбауера при
У загальному випадку поліноми Ґеґенбауера цілого верхнього індексу можна виразити через поліноми Чебишева:
де — символ Кронекера, або за допомогою операції диференціювання:
Поліноми Ерміта також можуть бути виражені як граничний випадок поліномів :
Поліноми Ґеґенбауера можна виразити через скінченний гіпергеометричний ряд:Gegenbauer Function , functions.wolfram.com}}
Це співвідношення дозволяє розширити означення функції на випадок довільного дійсного (комплексного) значення індексу . Так означена функція називається функцією Ґеґенбауера і у випадку натурального збігається з поліномом Ґеґенбауера.
Поліноми Ґеґенбауера є частковим випадком поліномів Якобі при :
де — символ Похгаммера.
Твірна функція та формула Родріга Твірна функція поліномів Ґеґенбауера :
Вони можуть бути виражені за допомогою формули Родріга
Рекурентні співвідношення Для поліномів Ґеґенбауера виконується рекурентне співвідношення по індексу , яке можна застосовувати для знаходження поліномів при :
Рекурентне співвідношення по індексу :
Інші формули:
Диференціальні властивості Похідна полінома Ґеґенбауера виражається через поліном зі зміщеним індексом
або у загальному випадку
Похідна від добутку на вагову функцію
Похідна полінома Ґеґенбауера по параметру також може бути обчислена через поліноми за наступною формулою:
Диференціальне рівняння Поліноми Ґеґенбауера є частковим розв'язком диференціального рівняння, яке називають рівнянням Ґеґенбауера
Загальний розв'язок вказаного рівняння зображується у вигляді
де — приєднана функція Лежандра другого роду, — довільні сталі.
Ортогональність Зауваження. Всі співвідношення цього розділу справедливі за умови , .
Для заданого поліноми Ґеґенбауера ортогональні на відрізку [−1,1] с вагою , тобто (при ),
причому виконується умова нормування
Як наслідок, функції
утворюють ортонормований базис у просторі . Довільна функція може бути розвинена в узагальнений ряд Фур'є по набору функцій :
Також розвинення можна будувати безпосередньо по многочленах Ґеґенбауера у ваговому просторі Лебега :
за формулами:
Приклади розвинень
де — функція знаку.
Двовимірні розвинення:
де — функція Бесселя першого роду.
Представлення через суми та ряди Поліноми Ґеґенбауера можна записати у вигляді суми по степенях або за відповідними формулами:
де — числа Стірлінга першого роду.
Розвиненням в ряд Тейлора в околі довільної точки буде скінчення сума:
Інтегральне представлення Поліноми Ґеґенбауера допускають інтегральне представлення:
через інтеграл по дійсній змінній:
через контурний інтеграл:
де — довільний контур в комплексній області, що містить одиничний круг.
Ряд інших інтегральних тотожностей:
Асимптотична поведінка Наведені формули характеризують поведінку поліномів Ґеґенбауера в околі різних значень параметра та змінної :
Нерівності та оцінки Справедливі такі оцінки:
При справедлива наступна нерівність:
Поліноми Ґеґенбауера від косинуса полярного кута Поліном Ґеґенбауера від косинуса полярного кута може бути представлений у вигляді суми
або через інтеграл від дійсного параметра:
Зауваження. Наведені вище формули справедливі для косинуса взагалі, без прив'язки до сферичної системи координат.
При повороті точки заданої в сферичній системі координатами на кут нутації новий кут визначається рівністю
Справедлива формула додавання:
або
після заміни .
Випадок комплексного аргументу Симетрія відносно операції комплексного спряження:
Якщо , де і — дійсні змінні ( також дійсне), то дійсна та уявна частини поліномів Ґеґенбауера можуть бути записані в такому вигляді:
Застосування Поліноми Ґеґенбауера природно виникають як узагальнення поліномів Лежандра у теорії потенціалу та гармонічному аналізі. А саме, ньютонівський потенціал в допускає такий розклад:
Зокрема, при ця формула дає розклад гравітаційного потенціалу по поліномах Лежандра.
Подібні розвинення мають місце для інтегрального ядра у формулі Пуассона для кулі (див. Stein & Weiss, 1971).
Поліноми Ґеґенбауера виникають при знаходженні власних функцій кутової частини -вимірного оператора Лапласа і, відповідно, входять до виразу для багатовимірних сферичних (ультрасферичних) гармонік:
де — кутові координати в -вимірній сферичній системі координат,
Також вони з'являються у імпульсному зображенні хвильової функції атома водню:
де — одиниці , — радіус Бора атома водню, — сферичні гармоніки.
Також поліноми Ґеґенбауера через відповідні ультрасферичні гармоніки пов'язані з представленнями спеціальної ортогональної групи .
Література
Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, , (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. Див. Chapter 22 Stein, Elias; Weiss, Guido, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, (1971) Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08078-9.
Примітки
Посилання Gegenbauer Function , functions.wolfram.com Eric W. Weisstein, Gegenbauer Polynomial , MathWorld — mathworld.wolfram.com