Надскладене число — натуральне число з більшою кількістю дільників, ніж у будь-якого меншого натурального числа.

Історія Термін запропонував Рамануджан 1915 року. Однак розглядав їх раніше, і, можливо, вони були відомі вже Платону, який описав число 5040 як ідеальну кількість громадян міста, оскільки 5040 має більше дільників, ніж будь-яке менше число..

Приклади У таблиці наведено перші 38 надскладених чисел (). НомерНадскладенеРозклад на простіКількість дільниківРозклад на прайморіали111222343464512662487369848109601210120161118018122402013360241472030158403216126036171680401825204819504060207560642110080722215120802320160842425200902527720962645360100275040010828554401202983160128301108801443116632016032221760168332772001803433264019235498960200365544002163766528022438720720240

Розклад на прості У розкладанні надскладених чисел беруть участь найменші прості множники, і при цьому не надто багато однакових.

За основною теоремою арифметики кожне натуральне число має єдиний розклад на прості:

де прості, і показники додатні цілі числа. Кількість дільників числа можна виразити так:

Таким чином, для надскладеного числа виконується таке:

Числа є першими простими числами. Послідовність степенів повинна бути незростаюча, тобто . Ця властивість рівнозначна тому, що надскладене число є добутком прайморіалів. За винятком двох особливих випадків n = 4 та N = 36, останній степінь дорівнює одиниці.

Зокрема тільки 1, 4 і 36 є надскладеними квадратами.

Хоча описані вище умови є необхідними, вони не є достатніми. Наприклад, 96 = 2 5 × 3 задовольняє всім перерахованим вище умовам і має 12 дільників, але не є надскладеним, оскільки існує менше число 60, яке має таку саму кількість дільників.

Асимптотичне зростання і щільність Існують сталі a і b, обидві більші, ніж 1, такі, що

де позначає кількість надскладених чисел менших або рівних .

Першу частину нерівності довів Пал Ердеш 1944 року; другу довів 1988 року.

і

Властивості Всі надскладені числа, більші від 6, є надлишковими. Не всі надскладені числа є числами харшад за основою 10; перший контрприклад це : це число має суму цифр 27, але на 27 не ділиться.

Див. також

Таблиця дільників Функція Ейлера

Примітки

Джерела (online)

Annotated and with a foreword by Jean-Louis Nicolas and Guy Robin.

Посилання Алгоритм обчислення надзвичайно складених чисел Перші 10000 надзвичайно складених чисел в якості факторів Flammenkamp Ахім, перший 779674 ГКН з Сигма, Тау, фактори Онлайн Сильно Складові Числа Калькулятор

Література