Ро́тор дво- чи тривимірного векторного поля в математиці — вектор, координати якого визначаються визначником третього порядку, перший рядок якого — орти координатних осей, другий — оператори частинного диференціювання в такому ж порядку, як і орти осей, третій — координати функції, яка визначає векторне поле.
Загальний опис З практичної точки зору ротор векторного поля характеризує обертальну здатність поля в даній точці: вона найбільша саме в площині, перпендикулярній ротору.
Поле, для якого ротор в кожній точці є нульовим вектором, називають потенціальним.
Назву "ротор" () запропонував 1871 року Джеймс Клерк Максвелл,Proceedings of the London Mathematical Society, March 9th, 1871 але концепцію, можливо, вперше використав 1839 року для побудови теорії оптичного поля Джеймс Маккуллаг.Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics tripod.com
Позначення (використовується в багатьох країнах Європи) або (в англомовній), а також — як векторний добуток диференціального оператора набла на векторне поле:
Приклад Обертання навколо осі зі сталою кутовою швидкістю (траєкторії є колами з центром на осі):
Тоді Отже, довжина ротора дорівнює подвоєній кутовій швидкості і напрямок збігається з віссю обертання.
Фізичне значення Розглянемо ротор у xy-площині. Ми інтерпретуємо ротор як подвоєну кутову швидкість маленького гребного колеса у цій точці.
Функцію можна розглядати як вимір тенденції створювати обертання. Інтерпретуючи як силове поле або поле швидкостей, примушуватиме об'єкт розташований у точці обертатись із кутовою швидкістю пропорційною до
Щоб бачити це використаємо гребне колесо з радіусом і центром у і вертикальною віссю. Нас цікавить як швидко обертатиметься колесо. Якби колесо мало лише одну лопать, швидкість цієї лопаті було б тобто дорівнювала б складовій сили перпендикулярній до лопаті (спрямованій уздовж дотичної).
Оскільки не однакова уздовж усього кола, якщо б колесо мало лише одну лопать, то його обертання було б нерівномірним. Але якщо лопатей багато, тоді колесо крутилось би із швидкістю, що дорівнювала б середньому значенню уздовж кола. Це значення можна знайти шляхом інтегрування і ділення на довжину кола:
| швидкість лопаті|| |- | || згідно з теоремою Гріна
де це значення функції у Обґрунтуванням останнього наближення є те, що якщо коло утворене гребним колесом маленький, тоді по всьому регіону має значення приблизно отже множачи цю сталу на площу круга ми отримуємо значення подвійного інтеграла. З цього ми виводимо дотичну швидкість гребного колеса:
Ми можемо позбутися використавши кутову швидкість:
Примітки
Джерела