У лінійній алгебрі, узагальнений власний вектор матриці розміру це вектор, що задовольняє певним критеріям, слабкішим ніж у випадку (звичайного) власного вектора.
Нехай буде -вимірним векторним простором; нехай це лінійне відображення з , множини всіх лінійних відображень з на себе; і нехай буде матричним представленням щодо певного впорядкованого базису.
Не завжди існує повний набір з лінійно незалежних власних векторів які формують повний базис для . Тобто, матриця може бути недіагоналізовною. Це трапляється коли алгебрична кратність хоча б одного власного значення більша ніж його геометрична кратність (ступінь виродженості матриці , або вимірність її нульового простору). У такому разі, називається дефектним власним значенням, а називається дефектною матрицею.
Узагальнений власний вектор , що відповідає , разом із матрицею породжує жорданів ланцюг лінійно незалежних узагальнених власних векторів, які утворюють базис для інваріантного підпростору .
Використовуючи узагальнені власні вектори, множину лінійно незалежних власних векторів можна розширити, якщо необхідно, до повного базису . Цей базис можна використати для побудови майже діагональної матриці у жордановій нормальній формі, подібну до , що корисно для обчислення певних матричних функцій від . Матриця також корисна для розв'язання систем лінійних диференціальних рівнянь де має бути діагоналізовною.
Розмірність узагальненого власного простору відповідного заданому власному значеню збігається з алгебричною кратністю .
Огляд і означення Існує декілька тотожних способів означити звичайний в-вектор. Тут ми вважатимемо, що в-вектор пов'язаний з в-значенням матриці розміру це ненульовий вектор, для якого , де це одинична матриця і це нульовий вектор завдовжки . Тобто, це вектор з ядра відображення . Якщо має лінійно незалежних в-векторів, тоді подібна діагональній матриці . Тобто, існує оборотна матриця така, що діагоналізовна через перетворення подібності . Матриця це спектральна матриця для . Матрицю називають модальною матрицею для . Діагоналізовні матриці становлять особливий інтерес завдяки тому, що їхні матричні функції легко обчислити.
З іншого боку, якщо не має лінійно незалежних векторів, тоді не діагоналізовна.
Означення: Вектор це узагальнений власний вектор рангу m матриці , що відповідає власному значенню якщо
але
Очевидно, що узагальнений в-вектор рангу 1 це звичайний в-вектор. Кожна матриця має лінійно незалежних узагальнених в-векторів, можна показати, що вона подібна до майже діагональної матриці в жордановій нормальній формі. Тобто, існує оборотна матриця така, що . Тут матриця це узагальнена модальна матриця для . Якщо це в-значення алгебричної кратності , тоді матиме лінійно незалежних в-векторів відповідних . Ці результати надають безпосередній метод обчислення певних матричних функцій для .
Зауваження: для того, щоб матрицю розміру над полем можна було виразити в жордановій нормальній формі, всі в-значення повинні бути в . Тобто, має бути можливим повністю факторизувати характеристичний поліном на лінійні множники. Наприклад, якщо має дійсно-значимі елементи, то дякі її в-значення і компоненти в-векторів можуть бути комплексні.
Підпростір натягнутий на всі узагальнені в-вектори для заданого , утворює узагальнений власний простір для .
Приклади Наведемо декілька прикладів, щоб проілюструвати концепцію узагальнених в-векторів.
Приклад 1 Цей приклад просто, але ясно висвітлює ідею. Такий тип матриць можна часто зустріти в підручниках. Покладемо
Тут лише одне в-значення, , і його алгебрична кратність m = 2.
Зауважте, що ця матриця в жордановій нормальній формі, але не діагональна. З цього ясно, що матриця недіагоналізовна. Через те, що наявний один наддіагональний елемент, маємо один узагальнений в-вектор рангу більше ніж 1 (також можна помітити, що векторний простір двовимірний, тому може бути не більше ніж один узагальнений вектор рангу більше ніж 1). Інакше, можна обчислити розмірність p нульового простору , яка дорівнює 1, і отже існує m – p = 1 узагальнений в-вектор рангу більше ніж 1.
Звичайний в-вектор можна обчислити як зазвичай. Далі, використовуючи цей в-вектор, можна обчислити узагальнений в-вектор розв'язавши
Це можна розписати як:
І спростити до:
На елемент немає обмежень. Виходить, що узагальнений в-вектор рангу 2 це , де a може бути будь-яким скалярним значенням. Зазвичай, найпростішим вибором буде a = 0.
Зауважте, що
тобто це узагальнений в-вектор,
отже це звичайний в-вектор, і вектори та лінійно незалежні, а значить є базисом для векторного простору .
Приклад 2 Цей приклад складніший ніж попередній. На жаль, вельми складно підібрати цікавий приклад маленького розміру. Матриця
має такі в-значення і із алгебричними кратностями and , але їхні геометричні кратності і .
Узагальнені в-простори обчислено нижче. це звичайний в-вектор для . це узагальнений в-вектор для . це звичайний в-вектор для . і це узагальнені в-вектори для with .
В-вектори, звичайні й узагальнені, зібрані в базиси узагальнених в-просторів матриці . Два ланцюги разом породжують простір 5-вимірних векторів стовпчиків.
Майже діагональну в жордановій нормальній формі матрицю , подібну до отримуємо так:
де це узагальнена модальна матриця для , стовпчики складають канонічний базис для , а .
Жорданові ланцюги Означення: Нехай буде узагальненим в-вектором рангу m, що відповідає в-значенню матриці Ланцюг утворений це множина векторів таким чином
Тобто, маємо таку формулу,
Вектор , обчислений за (), це узагальнений в-вектор рангу j, що відповідє в-значенню . Ланцюг являє собою лінійно незалежну множину векторів.
Канонічний базис Означення: Множина з n лінійно незалежних узагальнених векторів утворена винятково жордановими ланцюгами це канонічний базис.
Отже, щойно ми визначили, що узагальнений в-вектор рангу m приналежить канонічному базису, з цього випливає, що m − 1 vectors які входять до жорданового ланцюга породженого також приналежать канонічному базису.
Нехай буде в-значенням алгебричної кратності матриці розміру Спочатку знайдімо ранги матриць Ціле число визначається як перше ціле для якого має ранг
Тепер визначимо
Змінна позначає число лінійно незалежних узагальнених в-векторів рангу k, що відповідають в-значенню які з'являться в канонічному базисі для. Зауважте, що
.
Примітки
Література