Мі́нус оди́н, −1 — ціле число, більше, ніж (−2), і менше, ніж 0. Число −1 — протилежне число для 1, тобто, при додаванні цього числа до 1 в результаті утворюється 0. Найбільше від'ємне ціле число.
Алгебричні властивості Мінус одиниця має ряд властивостей, схожих із властивостями числа 1. Множення на мінус одиницю зберігає модуль множника, але змінює знак:
Це можна довести, скориставшись розподільним законом і аксіомою, що 1 є нейтральним елементом:
.
Тут ми використали той факт, що будь-яке число помножене на 0 дорівнює 0, що отримується скороченням з рівняння
.
Іншими словами,
,
отже є адитивно оберненим до , тобто , що й потрібно було довести.
Квадрат −1 Квадрат −1, тобто −1, помножене на −1, дорівнює 1. Як наслідок, добуток двох від'ємних чисел є додатним.
Алгебричне доведення цього результату почнемо з рівняння
.
Перша рівність випливає з наведеного вище результату, а друга — з визначення −1 як адитивно оберненої до 1: саме це число, додане до 1, дає 0. Тепер, використовуючи розподільний закон, маємо
.
Третя рівність випливає з того факту, що 1 є нейтральним елементом. Але тепер додавання 1 до обох частин цього останнього рівняння означає
.
Наведені вище аргументи справедливі в будь-якому кільці, концепції абстрактної алгебри, що узагальнює цілі та дійсні числа.
Квадратні корені з −1 Хоча не існує дійсних квадратних коренів з −1, комплексне число задовольняє , і тому його можна розглядати як квадратний корінь з −1. Єдине інше комплексне число, квадрат якого дорівнює −1, — це оскільки існує рівно два квадратних корені з будь-якого ненульового комплексного числа, що випливає з основної теореми алгебри. В алгебрі кватерніонів — де основна теорема не застосовується — які містять комплексні числа, рівняння має нескінченно багато розв'язків.
Піднесення до цілого від'ємного степеня Піднесення до степеня ненульового дійсного числа можна розширити до цілих від'ємних чисел. Приймемо, що , тобто, ототожнимо піднесення до степеня −1 зі знаходженням оберненого числа. Тоді це визначення можна поширити на цілі від'ємні числа, зберігши правило піднесення до степеня для дійсних і .
Піднесення до від'ємного цілого степеня можна поширити на обернені елементи кільця, визначивши як мультиплікативне обернене до .
Показник −1 біля назви функції, не означає, що слід взяти (поточково) обернені значення цієї функції, а є позначенням оберненої функції. Наприклад, є позначенням функції арксинуса, а загалом позначає функцію, обернену до .
Використання У розробці програмного забезпечення −1 є зазвичай початковим значенням для цілих чисел і також використовується, щоб показати, що змінна не містить корисної інформації. −1 пов'язане з тотожністю Ейлера, оскільки .
Примітки