У гіперболічній геометрії гіперболічний трикутник є трикутником на гіперболічній площині. Він складається з трьох відрізків, які називаються сторонами або ребрами, і трьох точок, званих кутами або вершинами.

Як і в евклідовому випадку, три точки гіперболічного простору довільної розмірності завжди лежать в одній площині. Отже, планарні гіперболічні трикутники також описують трикутники, можливі в будь-яких гіперболічних просторах високої розмірності.

Визначення Гіперболічний трикутник складається з трьох неколінеарних точок і трьох відрізків між ними.

Властивості Гіперболічні трикутники мають деякі властивості, аналогічні властивостям трикутників у евклідовій геометрії:

Кожен гіперболічний трикутник має вписане коло, але не будь-який гіперболічний трикутник має описане коло (див. нижче). Його вершини можуть лежати на орициклі або гіперциклі.

Гіперболічні трикутники мають деякі властивості, аналогічні властивостям трикутників у сферичній або еліптичній геометрії:

Два трикутника з однаковою сумою кутів рівні за площею. Існує верхня межа площі трикутників. Існує верхня межа радіуса вписаного кола. Два трикутники конгруентні тоді й лише тоді, коли вони переходять один в інший внаслідок скінченного числа відбиттів відносно прямої. Два трикутники з рівними відповідними кутами конгруентні (тобто всі подібні трикутники конгруентні).

Гіперболічні трикутники мають деякі властивості, які протилежні властивостям трикутників у сферичній або еліптичній геометрії:

Сума кутів трикутника менша від 180°. Площа трикутника пропорційна дефіциту його суми кутів (до 180°).

Гіперболічні трикутники мають деякі властивості, яких немає в інших геометріях:

Деякі гіперболічні трикутники не мають описаного кола, що буває у разі, коли принаймні одна з вершин є ідеальною точкою або коли всі вершини лежать на орициклі або на односторонньому гіперциклі. Гіперболічні трикутники тонкі, існує найбільша відстань δ від точки на стороні до інших двох сторін. Цей принцип призводить до появи δ-гіперболічних просторів.

Трикутники з ідеальними вершинами

Визначення трикутника можна узагальнити, якщо дозволити вершинам лежати на ідеальній межі гіперплощини, при цьому сторони повинні лежати всередині площини. Якщо пара сторін є асимптотично паралельними (тобто відстань між ними прямує до нуля при прямуванні до ідеальної точки, але вони не перетинаються), то вони закінчуються в ідеальній вершині, представленій омега-точкою.

Кажуть, що така пара сторін утворює нульовий кут.

Трикутник з нульовим кутом неможливий в евклідовій геометрії для прямолінійних сторін, що лежать на різних прямих. Однак такі нульові кути можливі для .

Трикутник з однією ідеальною вершиною називається омега-трикутником.

Особливі види трикутників з ідеальними вершинами:

Трикутник паралельності Трикутник, у якому одна вершина є ідеальною точкою, один кут прямий — третій кут є кутом паралельності для сторони між прямим кутом і третім кутом.

Трикутник Швайкерта Трикутник, у якому дві вершини є ідеальними точками, а третій кут є прямим. Це один з перших гіперболічних трикутників (1818), який описав Фердинанд Карл Швайкерт.

Ідеальний трикутник

Трикутник, у якому всі вершини є ідеальними точками. Такий трикутник є найбільшим з можливих трикутників у гіперболічній геометрії, оскільки має нульову суму кутів.

Стандартизована кривина Гауса Зв'язки між кутами і сторонами аналогічні зв'язкам між такими ж об'єктами в сферичній тригонометрії. Масштаб довжини для сферичної та гіперболічної геометрії можна, наприклад, визначити як довжину сторони рівностороннього трикутника з фіксованими кутами.

Масштаб довжини найзручніший, якщо довжини вимірюються в термінах абсолютної довжини (спеціальної одиниці довжини, аналогічної відношенню між відстанями в сферичній геометрії). Вибір масштабу довжини робить формули простішими.

У термінах моделі Пуанкаре у верхній півплощині абсолютна довжина відповідає інфінітезимальній метриці , а в дисковій моделі Пуанкаре відповідає

У термінах (сталої негативної) кривини Гауса гіперболічної площини одиниця абсолютної довжини відповідає довжині

У гіперболічномму трикутнику сума кутів A, B, C (відповідних протилежним сторонам з тими ж буквами) строго менша від розгорнутого кута. Різниця між мірою розгорнутого кута і сумою мір кутів трикутника називається дефектом трикутника. Площа гіперболічного трикутника дорівнює його дефекту, помноженому на квадрат :

Ця теорема, вперше доведена Йоганном Генріхом Ламбертом, пов'язана з теоремою Жирара у сферичній геометрії.

Тригонометрія У всіх формулах нижче сторони , і мають бути виміряні за абсолютною довжиною, одиниці, такій, що кривина Гауса поверхні дорівнює −1. Іншими словами, величину слід прийняти рівною 1.

Тригонометричні формули для гіперболічних трикутників залежать від гіперболічних функцій sh, ch і th.

Тригонометрія прямокутних трикутників Якщо C позначає прямий кут, то:

Синус кута A дорівнює гіперболічному синусу протилежної до кута сторони A, поділеному на гіперболічний синус гіпотенузи c.

Косинус кута A дорівнює гіперболічному тангенсу прилеглого катета b, поділеному на гіперболічний тангенс гіпотенузи c.

Тангенс кута A дорівнює гіперболічному тангенсу протилежного катета a, поділеного на гіперболічний синус прилеглого катета b.

Гіперболічний косинус прилеглого катета b кута A дорівнює косинусу кута B, поділеному на синус кута A.

Гіперболічний косинус гіпотенузи c дорівнює добутку гіперболічних косинусів катетів a і b.

Гіперболічний косинус гіпотенузи H дорівнює добутку косинусів кутів, поділеному на твір їх синусів.

Відношення між кутами Виконуються такі співвідношення:

Площа Площа прямокутного трикутника дорівнює:

Площа

а також

.

Кут паралельності Примірник омега-трикутника з прямим кутом дає конфігурацію для перевірки кута паралельності в трикутнику.

У випадку, коли кут B = 0, a = c = і , отримуємо (b = прилеглий катет).

Рівносторонній трикутник Тригонометричні формули для прямокутних трикутників дають також відношення між сторонами s і кутами A рівностороннього трикутника (трикутника, у якого всі сторони мають однакову довжину і всі кути рівні):

Загальна тригонометрія Незалежно від того, є C прямим кутом чи ні, виконуються такі співвідношення:

Двоїста закону теорема

Існує також закон синусів:

і чотиричленна формула:

Див. також

Для гіперболічної тригонометрії:

Чотирикутник Ламберта Чотирикутник Саккері

Примітки

Література

, інтерактивний сайт

Цитата: «Те, що площа гіперболічного трикутника пропорційна дефекту кутів, вперше з'явилось у монографії Ламберта Theorie der Parallellinien, опублікованій у 1786»

Література для подальшого читання Svetlana Katok (1992) Fuchsian Groups, University of Chicago Press