Многогранники Ганнера — клас опуклих многогранників, які можна отримати рекурсивно з відрізка за допомогою двох операцій: взяття прямого добутку і перехід до двоїстого многогранника.
Названі на честь , який розглянув їх 1956 року..
Побудова Многогранники Ганнера утворюють мінімальний клас многогранників, що задовольняє таким умовам:. Відрізок прямої є одновимірним многогранником Ганнера. Прямий добуток двох многогранників Ганнера є многогранником Ганнера. (Його розмірність дорівнює сумі розмірностей двох початкових многогранників.) Многогранник, двоїстий до многогранника Ганнера є многогранником Ганнера. (Цей многогранник має ту ж розмірність, що й початковий.)
Зауваження Замість операції переходу до двоїстого многогранника можна брати опуклу оболонку об'єднання многогранників, що містяться в перпендикулярних підпросторах../
Приклади Квадрат — це многогранник Ганнера як прямий добуток двох відрізків. Куб — це многогранник Ганнера як прямий добуток трьох відрізків. Октаедр — також многогранник Ганнера як многогранник, двоїстий до куба.
В розмірності три будь-який многогранник Ганнера комбінаторно еквівалентний одному з цих двох видів многогранників.. У вищих вимірах аналоги куба і октаедра, гіперкуби і гіпероктаедри, також є многогранниками Ганнера. Однак є й інші приклади. Зокрема восьмигранна призма — чотиривимірна призма, в основі якої октаедр. Вона є многогранником Ганнера, як добуток октаедра на відрізок.
Властивості Многогранники Ганнера центрально-симетричні. Будь-який многогранник Ганнера комбінаторно еквівалентний многограннику з координатами будь-якої вершини, що набувають значень 0, 1 або −1.. Загальне число граней -вимірного многогранника Ганнера дорівнює . -гіпотеза Калаї полягає в тому, що це число мінімальне для центрально-симетричних многогранників. Протилежні грані многогранника Ганнера не перетинаються, і разом містять усі вершини многогранника. Зокрема, опукла оболонка двох таких граней є весь многогранник.. Як наслідок, усі грані многогранника Ганнера мають однакове число вершин. Однак грані можуть не бути ізоморфними одна одній. Наприклад, у восьмигранній 4-призмі дві грані є октаедрами, а решта вісім граней — трикутними призмами. Двоїста властивість полягає в тому, що протилежні вершини суміжні з усіма гранями многогранника. Об'єм Малера, тобто добуток об'ємів самого многогранника і його двоїстого, для многогранника Ганнера той самий, що у й куба. Гіпотеза Малера полягає в тому, що серед центрально-симетричних опуклих тіл цей об'єм досягає мінімуму на многогранниках Ганнера.. Число комбінаторних типів многогранників Ганнера розмірності d таке саме, як число послідовно-паралельних графів з d ребрами. Для d = 1, 2, 3, …, це . 1, 1, 2, 4, 8, 18, 40, 94, 224, 548, …
Примітки