Многочлен Джонса — поліноміальний інваріант вузла, який зіставляє кожному вузлу або зачепленню многочлен Лорана від формальної змінної з цілими коефіцієнтами. Побудував Воен Джонс в 1984 році.
Визначення через дужку Кауфмана Для заданого орієнтованого зачеплення визначається допоміжний многочлен:
,
де — число закрученості діаграми , а — дужка Кауфмана. Число закрученості визначається як різниця між числом додатних перехресть і числом від'ємних перехресть і не є інваріантом вузла: воно не зберігається під час перетворень Рейдемейстера I типу.
— інваріант вузла, оскільки він інваріантний відносно всіх трьох перетворень Рейдемейстера діаграми . Інваріантність відносно перетворень II і III типів випливає з інваріантності дужки Кауфмана і числа закрученості відносно цих перетворень. Навпаки, для перетворення I типу дужка Кауфмана множиться на , що точно компенсується зміною на +1 або -1 числа закрученості .
Многочлен Джонса визначається з підстановкою:
,
кінцевий вираз є многочленом Лорана від змінної .
Визначення через представлення групи кіс Оригінальне визначення Джонса використовує операторну алгебру і поняття сліду подання кіс, що виникло в статистичній механіці ().
стверджує, що будь-яке зачеплення є замиканням коси з нитками, тому можна визначити подання групи кіс з нитками на алгебрі Темперлі — Ліба з коефіцієнтами з і . Стандартна твірна коси дорівнює , де — стандартні твірні алгебри Темперлі — Ліба. Для слова коси обчислюється , де — слід Маркова, в результаті отримуємо , де — дужковий поліном.
Перевага цього підходу полягає в тому, що вибравши аналогічні подання в інших алгебрах, таких як подання -матриць, можна прийти до узагальнень інваріантів Джонса (наприклад, таким єMurakami J., The parallel version of polynomial invariants of links , Osaka J. Math., 1989. поняття -паралельного полінома Джонса).
Визначення через скейн-співвідношення Многочлен Джонса однозначно задається тим, що він дорівнює 1 на будь-якій діаграмі тривіального вузла, і таким скейн-співвідношенням:
,
де , , і — три орієнтованих діаграми зачеплення, що збігаються скрізь, крім малої ділянки, де їхня поведінка відповідно є додатним і від'ємним перетинами і гладким проходом без спільних точок:
Кольоровий многочлен Джонса
Для додатного цілого числа , -колірний многочлен Джонса — це узагальнення многочлена Джонса. Це , пов'язаний із -незвідним представленням . У цій схемі многочлен Джонса є 1-колірним многочленом Джонса, інваріантом Решетіхіна — Тураєва, пов'язаним із стандартним представленням (незвідним і двовимірним) . Вважають, що нитки зачеплення «забарвлені» представленням, звідси й назва.
Загальніше, якщо дано зачеплення із компонентів і представлення з , то -колірний многочлен Джонса — це інваріант Решетіхіна — Тураєва, пов'язаний із (тут ми припускаємо, що компоненти впорядковані). За наявності двох представлень і , кольорові многочлени Джонса задовольняють такі дві властивості: , , де позначає двох . Ці властивості виводяться з того факту, що кольорові многочлени Джонса є інваріантами Решетіхіна — Тураєва.
Нехай — вузол. Згадаймо, що, розглядаючи діаграму як елемент алгебри Темперлі-Ліба завдяки дужці Кауфмана, можна відновити многочлен Джонса від . Подібно, -колірний многочлен Джонса для можна комбінаторно описати за допомогою ідемпотентів Джонса — Венцля так: візьмемо -кабельну суму вузлів ; розглянемо її як елемент алгебри Темперлі — Ліба; вставимо ідемпотенти Джонса — Венцля в деякі паралельних ниток.
Отриманий елемент є -колірним многочленом Джонса. Докладніше див. додаток H у Ohtsuki, Quantum Invariants: A Study of Knots, 3-manifolds, and Their Sets
Зв'язок з іншими теоріями описує топологічний порядок у станах дробового квантового ефекту Холла. З точки зору математики теорія Черна — Саймонса цікава тим, що дозволяє обчислювати інваріанти вузлів, такі як многочлен Джонса.
2000 року побудував ланцюговий комплекс для вузлів і зачеплень і показав, що гомології цього комплексу є інваріантом вузлів (). Ця теорія гомологій є категорифікацією многочлена Джонса, тобто многочлен Джонса є ейлеровою характеристикою для цієї гомології.
Властивості Многочлен Джонса має багато чудових властивостейJones, V.F.R., A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras , Bull. Amer. Math. Soc., 12: 103—111, 1987.Дужин С. В., Чмутов С. В. Узлы и их инварианты, Матем. просв., 1999, выпуск 3, 59-93..
Для зачеплень з непарним числом компонент (зокрема, для вузлів) усі степені змінної у многочлені Джонса цілі, а для зачеплень з парним числом компонент — напівцілі.
Многочлен Джонса зв'язної суми вузлів дорівнює добутку поліномів Джонса доданків, тобто:
.
Многочлен Джонса незв'язної суми вузлів дорівнює:
.
Многочлен Джонса об'єднання зачеплення і тривіального вузла дорівнює:
.
Для орієнтованого зачеплення, одержаного із заданого орієнтованого зачеплення заміною орієнтації деякої компоненти на протилежну, має місце:
,
де — це коефіцієнт зачеплення компоненти і .
Многочлен Джонса не змінюється за обернення вузла, тобто після заміни напрямку обходу на протилежний (зміні орієнтації).
Дзеркально-симетричний образ зачеплення має многочлен Джонса, отримуваний заміною на (властивість легко перевірити з використанням визначення через дужку Кауфмана).
Якщо — вузол, то:
.
Значення многочлена Джонса для вузла з числом компонент зачеплення в точці 1:
.
Многочлен Джонса -торичного вузла:
.
Відкриті проблеми 2003 року побудовано сімейство нетривіальних зачеплень із многочленом Джонса рівним многочлену Джонса тривіального зачеплення, при цьому невідомо, чи існує нетривіальний вузол, многочлен Джонса якого є таким самим, як у тривіального вузла. 2017 року побудовано сімейство нетривіальних вузлів з перетинами, для яких многочлен Джонса порівнянний з одиницею за модулем .
Див. також Квантовий інваріант Многочлен HOMFLY
Примітки
Література