Гранична ознака порівняння (на відміну від пов'язаної прямої ознаки порівняння) — це математичний критерій збіжності, який використовується для визначення збіжності чи розбіжності нескінченного ряду.

Твердження Нехай задано два ряди і , де , для будь-якого . Якщо , причому , тоді обидва ряди або збіжні або навпаки є розбіжними.

Доведення Оскільки , то для будь-якого існує натуральне число таке, що всіх , виконується нерівність , що рівносильно:

Оскільки , то можемо обрати як завгодно малим, щоб . Тоді , і за ознакою порівняння, якщо ряд є збіжним, то збіжним буде і ряд .

Аналогічно для , якщо ряд є розбіжним, то знову ж таки за ознакою порівняння розбіжним буде і ряд .

Отже, обидва ряди є збіжними, або розбіжними.

Приклад Визначимо, чи буде збіжним ряд

Для цього порівняємо його зі збіжним рядом

Оскільки

тому початковий ряд також є збіжним.

Одностороння версія Односторонню версію граничної ознаки порівняння можна сформулювати за допомогою верхньої та нижньої границі. Нехай для будь-яких . Тоді, якщо

є збіжним, тоді ряд обов'язково буде збіжним.

Приклад Нехай і для будь-яких . Тоді

не існує, і в цьому випадку не можна використовувати стандартну версію граничної ознаки порівняння. Однак

ряд є збіжним, і тому згідно з односторонньою версією граничної ознаки порівняння ряд буде збіжним.

Обернена одностороння версія Нехай для будь-якого . Якщо ряд розбіжний, а збіжний, тоді обов'язково

або

Головним тут є те, що у деякому сенсі числа більші за числа .

Приклад Нехай функція — аналітична на одиничному крузі

і має образ скінченної площі. Відповідно до формули Парсеваля площа образу функції дорівнює . Крім того, ряд є розбіжним. Отже, згідно з оберненою граничною ознакою маємо

тобто

Джерела

Michele Longo and Vincenzo Valori: The Comparison Test: Not Just for Nonnegative Series. Mathematics Magazine, Vol. 79, No. 3 (Jun., 2006), pp. 205–210 (JSTOR ) J. Marshall Ash: The Limit Comparison Test Needs Positivity. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 5 (December 2012), pp. 374–375 (JSTOR )

Зовнішні лінки Pauls Online Notes on Comparison Test